"987"> resout par ce calcul, comme l'invention des maxima & minima, des points d'inflexion & de rebroussement, &c. Voyez ces mots.

Qu'est - ce en effet que trouver un maximum ou un minimum? C'est, dit - on, faire la différence de d y égale à zéro ou à l'infini; mais pour parler plus exactement, c'est chercher la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui exprime la limite du rapport de d y fini à d x fini, & faire ensuite cette quantité nulle ou infinie. Voilà tout le mystere expliqué. Ce n'est point d y qu'on fait = à l'infini: cela seroit absurde; car d y étant prise pour infiniment petite, ne peut être infinie; c'est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: c'est - à - dire qu'on cherche la valeur de x qui rend infinie la limite du rapport de d y fini à d x fini.

On a vû plus haut qu'il n'y a point proprement de quantités infiniment petites du premier ordre dans le calcul différentiel; que les quantités qu'on nomme ainsi y sont censées divisées par d'autres quantités censées infiniment petites, & que dans cet état elles marquent non des quantités infiniment petites, ni même des fractions, dont le numérateur & le dénominateur sont infiniment petits, mais la limite d'un rapport de deux quantités finies. Il en est de même des différences secondes, & des autres d'un ordre plus élevé. Il n'y a point en Géométrie de d d y véritable; mais lorsque d d y se rencontre dans une équation, il est censé divisé par une quantité d x2, ou autre du même ordre: en cet état qu'est - ce que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]? c'est la limite du rapport [omission: formula; to see, consult fac-similé version], divisée par d x; ou ce qui sera plus clair encore, c'est, en faisant la quantité finie [omission: formula; to see, consult fac-similé version], la limite de [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Le calcul differentio - différentiel est la méthode de différentier les grandeurs différentielles; & on appelle quantiré differentio - différentielle la différentielle d'une différentielle.

Comme le caractere d'une différentielle est la lettre d, celui de la différentielle de d x est d d x; & la différentielle de d d x est d d d x, ou d2 x, d3 x, &c. ou x, x, &c. au lieu de d d y, d3 x, &c.

La différentielle d'une quantité finie ordinaire s'appelle une différentielle du premier degre ou du premier ordre, comme d x.

Différentielle du second degré ou du second ordre, qu'on appelle aussi, comme on vient de le voir, quantité differentio - différentielle, est la partie infiniment petite d'une quantité différentielle du premier degré, comme d d x, d x d x, ou d x2, d x d y, &c.

Différentielle du troisieme degre, est la partie infiniment petite d'une quantité différentielle du second degré, comme d d d x, d x3, d x d y d z, & ainsi de suite.

Les différentielles du premier ordre s'appellent encore différènces premieres; celles du second, différences secondes; celles du troisieme, différences troisiemes.

La puissance seconde d x2 d'une différentielle du premier ordre, est une quantité infiniment petite du second ordre; car d x2 : d x :: d x. 1; donc d x2 est censée infiniment petite par rapport à d x; de même on trouvera que d x3 ou d x2 d y, est infiniment petite du troisieme ordre, &c. Nous parlons ici de quantités infiniment petites, & nous en avons parlé plus haut dans cet article, pour nous conformer au langage ordinaire; car par ce que nous avons déjà dit de la métaphysique du calcul différentiel, & par ce que nous allons encore en dire, on verra que cette façon de parler n'est qu'une expression abrégée & obscure en apparence, d'une chose très - claire & très - simple.

Les puissances différentielles, comme d x2, se différentient de la même maniere que les puissances des quantités ordinaires. Et comme les différentielles com<cb-> posées se multiplient ou se divisent l'une l'autre, ou sont des puissances des différentielles du premier degré, ces différentielles se différentient de même que les grandeurs ordinaires. Ainsi la différence de d xm est m (d x)m - 1 d d x, & ainsi des autres. C'est pourquoi le calcul differentio - différentiel est le même au fond que le calcul différentiel.

Un auteur célebre de nos jours dit dans la préface d'un ouvrage sur la Géométrie de l'infini, qu'il n'avoit point trouvé de géometre qui pût cxpliquer précisément ce que c'est que la différence de d y devenue égale à l'infini dans certains points d'inflexion - Rien n'est cependant plus simple; au point d'inflexion la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est un maximum ou un minimum; donc la différence divisée par d x est = o ou = à l'infini. Donc, en regardant d x comme constant, on a la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version] zéro ou à l'infini; cette quantité n'est point une quantité infiniment petite, c'est une quantité qui est nécessairement ou finie, ou infinie, ou zéro, parce que le numérateur d d y qui est infiniment petit du second ordre, est divisé par d x2, qui est aussi du second ordre. Pour abréger, on dit que d d y est = à l'infini; mais d d y est censée multipliée par la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ce qui fait disparoître tout le mystere. En général d d y = à l'infini ne signifie autre chose que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] l'infini; or dans cette équation où il n'entre point de différentielle; par exemple soit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] l'infini n'est autre chose que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] l'infini, c'est - à - dire [omission: formula; to see, consult fac-similé version] l'infini, ce qui arrive quand x = a; on voit qu'il n'entre point de différentielle dans la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui représente [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou la limite de la limite de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. On supprime le d x2 pour abréger; mais il n'en est pas moins censé existant. C'est ainsi qu'on se sert souvent dans les Sciences de manieres de parler abrégées qui peuvent induire en erreur, quand on n'en entend pas le véritable sens. Voyez Elémens.

Il résulte de tout ce que nous avons dit, 1°. que dans le calcul différentiel les quantités qu'on néglige, sont négligées, non comme on le dit d'ordinaire, parce qu'elles sont infiniment petites par rapport à celles qu'on laisse subsister, ce qui ne produit qu'une erreur infiniment petite ou nulle; mais parce qu'elles doivent être négligées pour l'exactitude rigoureuse. On a vû en effet ci - dessus que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est la vraie & exacte valeur de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ainsi en différentiant a x = y y, c'est 2 y d y, & non 2 y d y + d y2 qu'il faut prendre pour la différentielle de y2, afin d'avoir, comme on le doit, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; 2°. Il ne s'agit point, comme on le dit encore ordinairement, de quantités infiniment petites dans le calcul différentiel; il s'agit uniquement de limites de quantités finies. Ainsi la métaphysique de l'infini & des quantités infiniment petites plus grandes ou plus peutes les unes que les autres, est totalementinutile au calcul différentiel. On ne se sert du terme d'infiniment petit, que pour abréger les expressions. Nous ne dirons donc pas avec bien des géometres qu'une quantité est infiniment petite, non avant qu'elle s'évanoüisse, non après qu'elle est évanoüie, mais dans l'instant même où elle s'évanoüit; car que veut dire une définition si fausse, cent fois plus obscure que ce qu'on veut définir? Nous dirons qu'il n'y a point dans le calcul différentiel de quantités infiniment petites. Au reste nous parlerons plus au long à l'article [p. 988] Infini de la métaphysique de ces quantités. Ceux qui liront avec attention ce que nous venons de dire, & qui y joindront l'usage du calcul & les réflexions, n'auront plus aucune difficulté sur aucun cas, & trouveront facilement des réponses aux objections de Rolle & des autres adversaires du calcul différentiel, supposé qu'il lui en reste encore. Il faut avoüer que si ce calcul a eu des ennemis dans sa naissance, c'est la faute des géometres ses partisans, dont les uns l'ont mal compris, les autres l'ont trop peu expliqué. Mais les inventeurs cherchent à mettre le plus de mystere qu'ils peuvent dans leurs découvertes; & en général les hommes ne haïssent point l'obscurité, pourvû qu'il en résulte quelque chose de merveilleux. Charlatanerie que tout cela! La vérité est simple, & peut être toûjours mise à portée de tout le monde, quand on veut en prendre la peine.

Nous ferons ici au sujet des quantités différentielles du second ordre, & autres plus élevées, une remarque qui sera très - utile aux commençans. On trouve dans les mém. de l'acad. des Sciences de 1711, & dans le I. tome des oeuvres de M. Jean Bernoulli, un mémoire où l'on remarque avec raison que Newton s'est trompé, quand il a crû que la différence seconde de zn, en supposant d z constante, est [omission: formula; to see, consult fac-similé version] au lieu qu'elle est n. (n - 1) zn - 2 d z2, comme il résulte des regles énoncées ci - dessus, & conformes aux principes ordinaires du calcul différentiel. C'est à quoi il faut prendre bien garde; & ceci nous donnera encore occasion d'insister sur la différence des courbes polygones & des courbes rigoureuses, dont nous avons déjà parlé aux art. Central & Courbe. Soit, par exemple, y = x2, l'équation d'une parabole: supposons d x constant, c'est - à - dire tous les d x égaux, on trouvera que x + d x donne pour l'ordonnée correspondante exacte, que j'appelle y1, x2 + 2 x d x + d x2, & que x + 2 d x donne l'ordonnée correspondante que je nomme y11, exactement égale à x2 + 4 x d x + 4 d x2; donc 2 x d x + d x2 est l'excès de la seconde ordonnée sur la premiere, & 2 x d x2 + 3 d x2 est l'excès de la troisieme sur la seconde: la différence de ces deux excès est 2 d x2; & c'est le d d y, tel que le donne le calcul différentiel. Or si par l'extrémité de la seconde ordonnée on tiroit une tangente qui vînt couper la troisieme ordonnée, on trouveroit que cette tangente diviseroit le d d y en deux parties égales, dont chacune seroit par conséquent d x2 ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. C'est cette moitié du ddy vrai que M. Newton a prise pour le vrai ddy entier; & voici ce qui peut avoir occasionné cette méprise. Le ddy véritable se trouve par le moyen de la tangente considérée comme sécante dans la courbe rigoureuse; car en faisant les d x constans, & regardant la courbe comme polygone, le d d y sera donné par le prolongement d'un des côtés de la courbe, jusqu'à ce que ce côté rencontre l'ordonnée infiniment proche aussi prolongée. Or la tangente rigoureuse dans la courbe rigoureuse étant prolongée de même, donne la moitié de ce d d y; & M. Newton a crû que cette moitié du d d y exprimoit le d d y véritable, parce qu'elle étoit formée par la soûtangente; ainsi il a confondu la courbe polygone avec la rigoureuse. Une figure très - simple fera entendre aisément tout cela à ceux qui sont un peu exercés à la géométrie des courbes & au calcul différentiel. V. Courbe polygone au mot Courbe, l'histoire de l'acad. des Scienc. de 1722, & mon traité de Dynamique, I. partie, à l'article des forces centrales.

Equation différentielle (Page 4:988)

Equation différentielle, est celle qui contient des quantités différentielles. On l'appelle du premier ordre, si les différentielles sont du premier ordre, du second, si elles sont du second, &c.

Les équations différentielles à deux variables appartiennent aux courbes méchaniques; c'est en quoi ces courbes different des géométriques. On trouvera leur construction au mot Courbe. Mais cette construction suppose que les indéterminées y soient séparées; & c'est l'objet du calcul intégral. Voyez Intégral.

Dans les équations différentielles du second ordre, où d x, par exemple, est supposé constant, si on veut qu'il ne soit plus constant, on n'a qu'à diviser tout par d x; & ensuite au lieu de [omission: formula; to see, consult fac-similé version], mettre [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & on aura une équation où rien ne sera constant. Cette regle est expliquée dans plusieurs ouvrages, & sur - tout dans la seconde partie du traité du calcul intégral de M. de Bougainville, qui ne tardera pas à paroître. En attendant on peut avoir recours aux oeuvres de Jean Bernoulli, t. IV. page 77; & on peut remarquer que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en supposant d x constant, est la même chose que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en supposant d x constant: or [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est le même, soit qu'on prenne d x constant, soit qu'on le fasse variable. Car y demeurant la même, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ne change point, pourvû que d x soit infiniment petite. Pour le bien voir, on n'a qu'à supposer d y = z d x ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura d z au lieu de [omission: formula; to see, consult fac-similé version] dans l'équation; or ce d z est la même chose que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], sans supposer rien de constant. Donc, &c.

Il me reste à parler de la différentiation des quantités sous le signe s. Par exemple, on propose de différentier s A d x, en ne faisant varier que y, A étant une fonction de x & de y: cette différence est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], [omission: formula; to see, consult fac-similé version] étant le coefficient de d y dans la différentielle de A. On trouvera la méthode expliquée dans les mém. de l'acad. de 1740, page 296, d'après un mémoire de M. Nicolas Bernoulli; & cette méthode sera détaillée dans l'ouvrage de M. de Bougainville. Je passe legerement sur ces objets qui sont traités ailleurs, pour venir à la question, de l'inventeur du calcul différentiel.

Il est constant que Leibnitz l'a publié le premier; il paroît qu'on convient aujourd'hui assez généralement que Newton l'avoit trouvé auparavant: reste à savoir si Leibnitz l'a pris de Newton. Les pieces de ce grand procès se trouvent dans le commercium epistolicum de analysi promotâ, 1712, Londini. On y rapporte une lettre de Newton du 10 Décembre 1672, qu'on prétend avoir été connue de Leibnitz, & qui renferme la maniere de trouver les tangentes des courbes. Mais cette méthode, dans la lettre citée, n'est appliquée qu'aux courbes dont les équations n'ont point de radicaux; elle ne contient point le calcul différentiel, & n'est autre chose que la méthode de Barrow pour les tangentes un peu simplifiée. Newton dit à la vérité dans cette lettre, que par sa méthode il trouve les tangentes de toutes sortes de courbes, géométriques, méchaniques, soit qu'il y ait des radicaux, ou qu'il n'y en ait pas dans l'équation. Mais il se contente de le dire. Ainsi quand Leibnitz auroit vû cette lettre de 1672, il n'auroit point pris à Newton le calcul différentiel; il l'auroit pris tout au plus à Barrow; & en ce cas ce ne seroit, ni Newton, ni Leibnitz, ce seroit Barrow qui auroit trouvé le calcul différentiel. En effet, pour le dire en passant; le calcul différentiel n'est autre chose que la méthode de Barrow pour les tangentes, généralisée. Voyez cette méthode de Barrow pour les tangentes, expliquée dans ses lectiones geometricoe, & à la fin du V. livre des sections coniques de M. de

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