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1°. Pour ajoûter deux ou plusieurs fractions décimales, il n'y a qu'à les poser l'une sous l'autre, les entiers sous les entiers, les dixiemes sous les dixiemes, les centiemes sous les centiemes, &c. & faire l'addition à l'ordinaire.

Où vous voyez qu'il y a autant de décimales dans la somme qu'en contient le plus grand nombre. 42687 des fractions décimales dont on a proposé l'addition: ce qui forme une regle pour cette opération.

2°. Il faut suivre la même regle pour la soustraction; c'est - à - dire que pour soustraire une fraction décimale d'une autre, il faut les poser de même que ci - dessus; la petite sous la grande, & faire la soustraction à l'ordinaire, ainsi qu'on l'a exécuté dans l'opération suivante.

3°. Pour multiplier une fraction décimale 34. 632 par une autre. 5234, on multipliera d'abord les nombres qui les expriment, comme s'ils étoient des nombres entiers; & pour savoir après quel chiffre il faut mettre le point, il faut que la fraction du produit, c'est à - dire que les décimales du produit contiennent autant de chiffres qu'il y en a dans la fraction des deux produisans, c'est - à - dire sept dans cet exemple; ainsi on placera le point apres le septieme chiffre, en commençant à compter de la droite vers la gauche.

4°. Pour diviser une fraction décimale par une autre, on divisera les nombres qui les expriment, l'un par l'autre, comme s'ils étoient des nombres entiers. Et pour savoir après quels chiffres du quotient il faut mettre le point, on ôtera du nombre des chiffres de la fraction du dividende, celui de la fraction du diviseur. Ainsi le quotient de 18. 1263888, dont la fraction contient sept chiffres, par 1. 5234, dont la fraction en contient quatre, est 34. 632, dont la fraction en doit contenir 3. (E)

Lorsqu'il n'y a pas de nombre entier dans une fraction décimale, on met ordinairement un zéro avant le point; ainsi au lieu de .5 on écrit 0.5: ce zéro au fond est inutile; mais on s'en sert apparemment asin que le point qui le suit soit plus remarquable, & ne forme point d'équivoque dans le discours; souvent au lieu de point on se sert d'une virgule, ce qui revient au même.

Tout le calcul des fractions décimales est fondé sur ce principe très - simple, qu'une quantité décimale, soit fractionnaire, soit qu'elle contienne des entiers en partie, équivaut à une fraction dont le dénominateur est égal à l'unité suivie d'autant de zéros, qu'il y a de chiffres après le point; ainsi 0.563 est = 563/1000; 0.0005 = 5/10000; 36. 52 = 3652/100= 36 + 52/100; & ainsi des autres.

Par conséquent si on veut ajoûter ensemble les quatre fractions ci - dessus, il faut supposer que ces quatre fractions sont réduites au même dénominateur commun 100000, c'est - à - dire supposer 1.053 = 1.05300, 15. 86=15. 86000, & 35 7802=35. 78020; c'est ce que l'on fait du moins tacitement en écrivant les nombres comme on le voit plus haut, & la somme est censée avoir 10000 pour dénominateur. Il en est de même de la soustraction. A l'égard de la multiplication, on n'a point cette préparation à faire de réduire toutes les fractions au même dénominateur, en ajoûtant des zéros à la droite de celles qui en ont besoin. On multiphe simplement à l'ordinaire; & il est visible que si 10n est censé le dénominateur d'une des fractions, & 10m l'autre; le dénominateur du produit sera 10m + n. Donc supprimant ce dénominateur, il faudra que le produit ait autant de parties décimales, c'est - à - dire de chiffres après le point, qu'il y a d'unités dans m + n. Il en sera de même de la division, avec cette différence que le dénominateur au lieu d'être 10m + n sera 10m - n, & que par conséquent m - n sera le nombre des chiffres qui doivent se trouver apres le point dans le quotient. Voyez Fraction & Division.

Nous avons expliqué à l'article Approximation comment par le moyen des fractions decimales on approche aussi près qu'on veut de la racine d'un nombre quelconque.

Il ne nous reste plus qu'à observer qu'on ne réduit pas toûjours exactement & rigoureusement une fraction quelconque en fraction décimale, par la regle que nous avors donnée plus haut. Soit, par exemple p/q une fraction à réduire en fraction décimale r/10; on aura donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & on verra à l'article Diviseur que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ne sauroit être égal à un nombre entier r, à moins que q ne soit égal à quelque puissance de 2 ou de 5, ou de 2 5, ou au produit de quelque puissance de 2 par quelque puissance de 5, puissances moindres que n; car on suppose que p/q est une fraction réduite à la plus simple expression, c'est - à - dire que p & q n'ont aucun diviseur commun. Voyez Diviseur. Dans tout autre cas [omission: formula; to see, consult fac-similé version]ne pourra jamais être exactement & rigoureusement égal à un nombre entier r. Mais il est visible que plus n sera grand, c'est - à - dire plus le dénominateur de la fraction aura de zéros, plus [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sera près d'être égal à [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; car l'erreur, s'il y en a, sera toûjours moindre que [omission: formula; to see, consult fac-similé version], puisqu'en faisant la division de p 10n par q le quotient r qu'on trouvera, & qui sera trop petit, sera au contraire trop grand, si on l'augmente d'une unité. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc, &c.

Ainsi la réduction des fractions en décimales est toûjours utile; puisqu'on peut du moins approcher de leur valeur aussi près qu'on voudra, quand on ne lés a pas exactement.

On appelle aussi arithmétique décimale, l'arithmétique telle que nous la pratiquons, & dans laquelle on se sert de dix chiffres: surquoi voyez Binaire & échelles arithmétiques , au mot Arithmétique, & Dactylonomie . Il seroit très à souhaiter que toutes les divisions, par exemple de la livre, du sou, de la toise, du jour, de l'heure, &c. fussent [p. 670] de 10 en 10; cette division rendroit le calcul beaucoup plus aisé & plus commode, & seroit bien préférable à la division arbitraire de la livre en 20 sous, du sou en 12 deniers, du jour en 24 heures, de l'heure en 60 minutes, &c. (O)

Décimal (Page 4:670)

Décimal, adj. (Jurisp.) se dit de ce qui a rapport à la dixme. Par exemple, le droit d'un décimateur s'appelle son droit décimal, comme le droit d'un curé s'appelle son droit curial. On dit une matiere décimale. L'article 3. de la coûtume de Normandie, porte que le bailli connoît des matieres bénéficiales, décimales, &c. Voyez Décimateur & Dixme. (A)

DÉCIMATEUR (Page 4:670)

DÉCIMATEUR, s. m. (Jurispr.) est différent du dixmeur. Le premier est celui qui a droit de percevoir une dixme soit ecclésiastique ou inféodée; au lieu que le dixmeur est celui qui leve la dixme pour un autre.

On appelle gros - décimateurs, ceux qui ont les grosses dixmes, les curés n'ayant ce cas que les menues & vertes dixmes, & les novales.

Décimateur ecclésiastique, est un ecclésiastique qui à cause de son bénéfice a droit de dixme.

Décimateur laïc, est un seigneur direct qui tient en fief d'un autre seigneur des dixmes inféodées.

Les gros - décimateurs sont tenus à cause des dixmes à plusieurs charges; savoir, de faire les réparations du choeur & cancel, & de fournir les ornemens & livres nécessaires.

Ils sont aussi obligés de fournir la portion congrue au curé & à son vicaire, si mieux ils n'aiment abandonner tout ce qu'ils possedent des dixmes.

Quand il y a plusieurs gros - décimateurs, ils contribuent aux charges chacun à proportion de leur part dans les dixmes. Voyez les mém. du clergé, cinquieme édition, tome III. part. III. tit: 5. L'art. 21. de l'édit de 1693; le Prestre, cent. I. ch. xxj. & ciaprès au mot Dixme. (A)

DÉCIMATION (Page 4:670)

DÉCIMATION, s. f. (Hist. Rom.) Voyez les historiens, entr'autres Polybe, liv. XI. les Lexicographes, & les auteurs qui ont traité de la discipline militaire des Romains.

La décimation étoit une peine que les Romains infligeoient aux soldats, qui de concert avoient abandonné leur poste, qui s'etoient comportés lâchement dans le combat, ou qui avoient excité quelque sedition dans le camp. Alors on assembloit les troupes, le tribun militaire amenoit les coupables auprès du général, qui après leur avoir vivement reproché leurs fautes ou leurs crimes en présence de l'armée, mettoit tous leurs noms dans une urne ou dans un casque, & suivant la nature du crime, il tiroit de l'urne, cinq, dix, quinze, ou vingt noms d'entre les coupables, de sorte que le cinquieme, le dixieme, le quinzieme, ou le vingtieme que le sort dénommoit, passoit par le fil de l'épée; le reste étoit sauvé: & cela s'appelloit décimer, decimare.

Pour faire une juste estimation des fautes ou des crimes par un corps, & pour y proportionner les peines, il faut toûjours considérer qu'on se tromperoit beaucoup de croire qu'il y ait dans un corps aucun crime qui puisse être véritablement regardé comme un crime égal dans chaque particulier qui compose ce corps. Lorsque ses membres sont assemblés pour les affaires du corps, ils ne sauroient apporter le même sens froid, la même prudence, la même sagesse, que chacun a dans ses affaires particulieres. La faute que commet alors la communauté, est l'effet de son état de communauté, & de l'influence de quelques membres qui ont le crédit ou l'art de persuader les autres. La multitude s'échauffe, s'anime, s'irrite, parce qu'elle fait corps, & qu'elle prend nécessairement une certaine confiance dans le nombre qu'elle ne sauroit prendre quand elle est séparée. Il suit de - là que les peines qui tomberoient sur le corps entier, doivent être très - douces & de courte durée. La vérité de cette réflexion n'échappa pas aux Romains, malgré la sévérité de la discipline militaire qu'ils avoient à coeur de maintenir. C'est pourquoi nos peres, disoit Cicéron, cherchant un sage tempérament, imaginerent la décimation des soldats qui ont commis ensemble la même faute, afin que tous soient dans la crainte, & qu'il n'y en ait pourtant que peu de punis. (Orat. pro Cluentio). Article de M. le Chevalier de Jaucourt.

DÉCIME (Page 4:670)

DÉCIME, (Hist. anc. & mod. & Jurisprud.) est un ancien droit, subvention, ou secours de deniers, que nos rois levoient autrefois sur tous leurs sujets, tant ecclésiastiques que laïcs, pour les besoins extraordinaires de l'état. Dans la suite, le terme de décime est demeuré propre aux subventions que les ecclesiastiques payent au roi, & ces décimes sont devenues annuelles & ordinaires; le clergé paye aussi de tems en tems au roi des décimes ou subventions extraordinaires.

Ce mot décime vient du latin decima, qui signifie en général la dixieme partie d'une chose. Ce mot decima a d'abord été appliqué à la dixme, parce que dans l'origine elle étoit par - tout du dixieme des fruits: ce même mot decima a aussi été appliqué aux décimes, parce que les premieres levées qui furent faites de cette espece, étoient aussi du dixieme des fruits & revenus; ensorte que le mot latin decima signifie également dixme & décime, quoique ce soient deux choses fort differentes, puisque la dixme se paye à l'Eglise, au lieu que les décimes sont fournies au roi par le clergé: c'est pourquoi dans notre langue on a eu l'attention de distinguer ces deux objets en appellant dixme la portion des fruits que les fideles donnent à l'Eglise; & décime, ce que l'Eglise paye au roi pour cette subvention.

La premiere levée faite par nos rois qui ait été qualisiée de décime, & dont les autres levées semblables ont emprunté le même nom, est celle qui fut faite sous Philippe - Auguste. Saladin, soudan d'Egypte, ayant le 26 Septembre 1187 pris la ville de Jérusalem & chassé les Chrétiens de presque toute la Palestine, toute la Chrétienté prit les armes; l'empereur, le roi d'Angleterre, & Philippe - Auguste, se croiserent, & tout ce qu'il y avoit de plus illustre dans le royaume. Pour fournir aux frais de cette expédition, il fut ordonné dans une assemblée d'etats tenue à Paris au mois de Mars 1188, qu'on leverolt sur les ecclésiastiques le dixieme d'une année de leur revenu, & sur les laïcs qui ne feroient point le voyage, le dixieme de tous leurs biens - meubles & de tous leurs revenus. Cette levée fut appellée la dixme ou décime Saladine, à cause qu'elle étoit du dixieme & qu'elle se faisoit pour la guerre contre Saladin. Pierre de Blois écrivit contre cette levée pour le clergé; cependant elle fut payée par tous les sujets du roi. Il y en eut une semblable en Angleterre.

Depuis ce tems, presque toutes les levées que l'on fit sur le clergé pour les croisades ou autres guerres, que l'on appelloit saintes, furent nommées dixiemes ou décimes.

Il y en eut en effet dans la suite encore quelquesunes qui furent pareillement du dixieme; mais il y en eut aussi beaucoup d'autres qui furent moindres, comme du cinquantieme, du centieme: on ne laissa pas de leur donner à toutes le nom de décimes; de sorte, par exemple, que la levée du centieme fut appellée la décime - centieme, & ainsi des autres; & pour distinguer de celles - ci les décimes qui étoient réellement du dixieme, on les appelloit décimes entieres. Il y eut aussi des doubles - décimes & des demidécimes, c'est - à - dire qui se levoient pendant deux années, ou pendant une demi - année. Enfin ce nom de décimes est demeuré à toutes les levées ordinai<pb->

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