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                    Cycle solaire depuis l'année Grégorienne 1700 jusqu'à l'année 1800.

1      D C   5      F E   9      A G   13      C B   17      E D   21      G F   25      B A
2        B   6        D  10        F   14        A   18        C   22       E   26        G
3        A   7        C  11        E   15        G   19        B   23       D   27        F
4        G   8        B  12        D   16        F   20        A   24       C   28        E

Ce même cycle doit encore changer en l'année 1800. Car le cycle solaire de l'année 1800 est 17, par conséquent E, D, devroient être les lettres dominicales; mais comme cette année ne sera point bissextile, la lettre dominicale sera E pendant toute l'année, & celles des années suivantes D, C, B. Ainsi la colonne où est F E, D, C, B, doit être la premiere du cycle depuis 1800 jusqu'en 1900. Par la même raison on trouvera que la colonne A G, F, E, D, doit être la premiere du cycle depuis 1900 jusqu'à 2000, & depuis 2000 jusqu'à 2100, parce que l'année 2000 sera bissextile. Ce même cycle devra encore changer l'année 2100. Car dans l'année 2100, suivant l'ordre du cycle solaire depuis 1900 jusqu'à 2100, les lettres dominicales devroient être C, B. Mais on n'aura que C pendant toute l'année 2100, à cause qu'elle ne sera point bissextile, & par conséquent B, A, G, pendant les suivantes. Ainsi la colonne D C, B, A, G, doit être la premiere du cycle depuis 2100 jusqu'à 2200. Or 2100 est la premiere de trois années séculaires non bissextiles, ainsi que 1700; & la table pour 1700 commence par cette même colonne D C, B, A, G; on aura donc une table générale pour tous les cycles solaires, en formant quatre petites tables particulieres, dont la premiere ait pour premiere colonne C B, A, G, F; la seconde D C, B, A, G; la troisieme F E, D, C, B; la quatrieme A G, F, E, D. La premiere de ces tables sera pour le siecle qui a commencé par l'année 1600; la seconde pour les siecles qui commencent par les années 1700, 2100, 2500, 2900, 3300, &c. & ainsi de suite de 400 en 400; de même la troisieme pour les années 1800, 2200, 2600, 3000, 3400, &c. la quatrieme pour les années 1900 jusqu'à 2100, 2300 jusqu'à 2500, 2700 jusqu a 2900, 3100 jusqu'à 3300, 3500 jusqu'à 3700, &c.

On peut même omettre la premiere de ces tables qui n'est que pour l'année 1600, parce que cette table ne doit plus être d'usage; mais si on veut la conserver, & qu'on y ajoûte la table du cycle solaire pour les années Juliennes, on aura une table générale de tous les cycles solaires depuis le commencement de l'ere chrétienne jusqu'à 1582, & depuis 1582 jusqu'à la fin des siecles.

Il paroît par ce que nous venons de dire que la table perpétuelle des lettres dominicales qu'on trouve dans la chronologie de Wolf (élémens de Mathémat. tome IV.), est beaucoup plus ample qu'il n'est nécessaire, puisqu'au lieu des sept tables particulieres des différens cycles solaires, l'auteur auroit pû se contenter de n'en mettre que trois. Il est vrai que suivant la table que nous venons de donner, il faudroit changer les nombres du cycle solaire, & que par exemple, le cycle solaire de 1800, au lieu d'être 17, devroit être 1; & que de même le cycle solaire de 1900 jusqu'à 2100 devoit être 1, & ainsi des autres. Mais il me semble que cet inconvénient ne seroit pas fort grand; car, par exemple, depuis 1800 jusqu'à 1900, on auroit le nombre du cycle solaire en divisant par 28 le nombre des années écoulées depuis 1800, augmenté de l'unité, & prenant ce qui resteroit après la division pour le nombre du cycle, ou 28, s'il n'y avoit point de reste. Ainsi le cycle solaire de 1805 seroit 6, celui de 1827 seroit 28, celui de 1831 seroit 4. Car 31 plus 1, ou 32 étant divisé par 28, il reste 4. Mais si on veut conserver la maniere ordinaire de trouver le cycle solaire, alors il faudra une table plus ample que celle que nous venons d'indiquer pour le cycle solaire perpétuel; & en ce cas il faudra recourir à celle de M. Wolf. Ainsi le cycle solaire de 1800 étant 17, & E, D, C, B, devant être les lettres dominicales de 1800, 1801, 1802, 1803, il s'ensuit que l'ordre du cycle solaire, depuis 1800 jusqu'à 1900, doit être tel que la colonne F E, D, C, B, y soit la cinquieme, comme la colonne E D, C, B, A, est la cinquieme de la table du cycle solaire de 1700, & répond au nombre 17. Donc E D, C, B, A, doit être la premiere colonne pour 1800, de même on trouvera facilement que F E, D, C, B, sera la premiere colonne depuis 1900 jusqu'à 2100; depuis 2100 jusqu'à 2200, ce sera G F, E, D, C, depuis 2200 jusqu'à 2300, ce sera A G, F, E, D; depuis 2300 jusqu'à 2500, ce sera B A, G, F, E: & depuis 2500 jusqu'à 2600, ce sera C B, A, G, F. Or cette derniere colonne est la premiere depuis 1582 jusqu'à 1700. Ainsi on formera par ce moyen sept tables, dont la premiere sera pour les siecles qui commencent par les années 1600, 2500, &c. la seconde pour ceux des années 1700, 2600, &c. la troisieme pour ceux des années 1800, 2700, 2800, &c. la quatrieme pour ceux des années 1900, 2000, 2900, &c. la cinquieme pour ceux des années 2100, 3000, &c. la sixieme pour ceux de 2100, 3100, 3200, &c. la septieme pour ceux des années 2300, 2400, 3300, &c. De sorte qu'après avoir rangé ces sept tables verticalement les unes à côté des autres, on écrira au - dessous les chiffres des années séculaires dans l'ordre suivant:

Iere Table.  II.   III.     IV.      V.     VI.    VII.
    1600               1700   1800    1900    2100   2200    2300
                                      2000                   2400

     2500               2600   2700    2900    3000   3100    3300
                              2800                   3200

On voit que dans cette table les années séculaires se suivent immédiatement dans chaque rang horisontal, avec cette exception que les années qui doivent être bissextiles sont placées immédiatement au - dessous de l'année séculaire précédente, parce que le cycle solaire continue alors à être le même pendant 200 ans. Voyez Metemptose & Lettre dominicale.

On peut observer que le mot cycle est non seulement appliqué en général à tous les nombres qui composent la période, mais à chaque nombre en particulier. Ainsi on dit que l'époque commune de la naissance de J. C. a pour cycle solaire 1, pour cycle lunaire ou nombre d'or 2, pour lettre dominicale B, & pour cycle d'indiction 4.

Cycle paschal. Si on multiplie le cycle solaire par le cycle lunaire, c'est - à - dire 19 par 28, il en résultera une période de 532 ans appellée cycle paschal. Voici pourquoi on lui a donné ce nom. Dans l'ancien calendrier on faisoit généralement chaque quatrieme année bissextile; & on supposoit, en adoptant le cycle lunaire, qu'au bout de 19 ans les pleines lunes tomboient aux mêmes jours; de sorte qu'au bout de 28 fois 19 ans ou 532 ans, le jour de [p. 590] pâques tomboit au même jour, & le cycle recommençoit. Voyez Période Dyonisienne.

Dans la préface dé l'art de vérifier les dates (voyez Chronologie) on remarque que le cycle paschal ou produit du cycle solaire 28 par le cycle lunaire 19, a été appellé par quelques anciens annus magnus, & par d'autres circulus ou cyclus magnus. On l'appelle encore période victorienne du nom de Victorius son auteur, qui l'a fait commencer à l'an 28 de J. C. Denis le Petit qui a corrigé cette période, l'a fait commencer un an avant l'ere chrétienne; ce qui lui a fait donner le nom de période Dyonisienne, qu'elle a retenu.

Dans le même ouvrage on remarque qu'il y a une différence entre le cycle lunaire & le cycle de 19 ans. Le premier commence trois ans plûtard que le second. Mais le cycle de 19 ans a prévalu, & on a oublié l'autre. Voyez un plus ample détail dans l'ouvrage cité, préf. page 34. & suiv.

Si on multiplie le cycle solaire, le cycle lunaire, & le cycle des indictions, l'un par l'autre, on forme une période de 7980 ans appellée période Julienne. Voyez Période Julienne. (O)

CYCLOIDAL (Page 4:590)

CYCLOIDAL, adj. (Géomet.) L'espace cycloïdal est l'espace renfermé par la cycloide & par sa base. M. de Roberval a trouvé le premier que cet espace est triple du cercle générateur; & on peut le prouver aisément par le calcul intégral. En effet soit x l'abscisse du cercle générateur prise au sommet de la cycloïde, y l'ordonnée du demi - cercle, & z celle de la cycloïde, l'arc correspondant du cercle sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], a étant le rayon du cercle; & on aura par la propriété de la cycloïde [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; cette quantité étant multipliée par d x donnera pour l'élément de l'aire de la cycloïde [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc l'intégrale est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; d'où il est facile de conclure que la moitié de l'espace cycloïdal = 1° le demi - cercle, 2° le diametre multiplié par la demi - circonférence, c'est - à - dire le double du cercle entier, d'où il faut retrancher le produit du rayon par cette demi - circonférence, c'est - à - dire le cercle entire; ainsi la moitié de l'espace cycloïdal est égale à trois fois le demi-cercle. Donc l'espace cycloïdal total vaut trois fois le cercle générateur.

On peut démontrer encore par une méthode fort simple, que l'espace renfermé entre le demi - cercle & la demi - cycloïde est égal au cercle générateur. Prenez deux ordonnées de la cycloïde terminées au cercle & à égales distances du centre, la somme de ces ordonnées sera égale au demi - cercle; d'où il sera facile de faire voir, en divisant l'espace cycloïdal en petits trapeses, que l'aire de deux trapeses pris ensemble, est égal au produit de la demi - circonférence par l'élément du rayon. Donc la somme des trapeses est égale au produit de la demi - circonférence par le rayon, c'est - à - dire égale au cercle. (O)

CYCLOIDE (Page 4:590)

CYCLOIDE, s. f. en Géomét. est une des courbes méchaniques, ou, comme les nomment d'autres auteurs, transcendantes. On l'appelle aussi quelquefois trochoide & roulette. Voyez Courbe, Epicycloide, & Trochoide.

Elle est décrite par le mouvement d'un point A (fig. 55. Pl. de Géométr.) de la circonférence d'un cercle, tandis que le cercle fait une révolution sur une ligne droite A P. Quand une roue de carrosse tourne, un des clous de la circonférence décrit dans l'air un cycloïde.

De cette génération il est facile de déduire plusieurs propriétés de cette courbe, savoir que la ligne droite A E est égale à la circonférence du cercle A B C D, & A C égale à la demi - circonférence; & que dans une situation quelconque du cercle générateur, la ligne droite A d est égale à l'arc a d; & comme a d est égale & parallele à d c, a d sera égale à l'arc du cercle générateur d F. De plus la longueur de la cycloïde entiere est égale à quatre fois le diametre du cercle générateur; & l'espace cycloïdal A F E est triple de l'aire de ce même cercle. Voyez ci - dessus l'article Cycloidal. Enfin une portion quelconque F I de la courbe prise depuis le sommet, est toûjours égale au double de la corde correspondante F b du cercle; & la tangente G I à l'extrémité I est toûjours parallele à la même corde F b. Si le cercle tourne & avance en même tems, de maniere que son mouvement rectiligne soit plus grand que son mouvement circulaire, la cycloïde est alors nommée cycloïde allongée, & la base A E est plus grande que la circonférence du cercle générateur. Au contraire, si le mouvement rectiligne du cercle est moindre que le mouvement circulaire, la cycloïde est nommée cycloïde accourcie, & sa base est moindre que la circonférence du cercle. Voyez Roue d'Aristote.

La cycloïde est une courbe assez moderne; & quelques personnes en attribuent l'invention au P. Mersenne, d'autres à Galilée; mais le docteur Wallis prétend qu'elle est de plus ancienne date; qu'elle a été connue d'un certain Bovillus vers l'année 1500, & que le cardinal Cusa en avoit même fait mention long - tems auparavant, c'est - à - dire avant l'an 1451.

Il est constant, remarque M. Formey, que le P. Mersenne divulgua le premier la formation de la cycloïde, en la proposant à tous les géometres de son tems, lesquels s'y appliquant à l'envi, y firent alors plusieurs découvertes; ensorte qu'il étoit difficile de juger à qui étoit dû l'honneur de la premiere invehtion. Delà vint cette célebre contestation entre MM. de Roberval, Toricelli, Descartes, Lalovera, &c. qui fit alors tant de bruit parmi les savans.

Depuis ce tems - là à peine a - t - on trouvé un mathématicien tant soit peu distingué, qui n'ait éprouvé ses forces sur cette ligne, en tâchant d'y découvrir quelque nouvelle propriété. Les plus belles nous ont été laissées par MM. Pascal, Huyghens, Wallis, Wren, Leibnitz, Bernoulli, &c.

Cette courbe a des propriétés bien singulieres. Son identité avec sa développée, les chûtes en tems égaux par des arcs inégaux de cette courbe, & la plus vîte descente, sont les plus remarquables. En général à mesure qu'on a approfondi la cycloide, on y a découvert plus de singularités. Si l'on veut qu'un pendule fasse des vibrations inégales en des tems exactement égaux, il ne faut point qu'il décrive des arcs de cercle, mais des arcs de cycloïde. Si l'on développe une demi - cycloïde, en commençant par le sommet, elle rend par son développement une autre demi - cycloïde semblable & égale; & l'on sait quel usage M. Huyghens fit de ces deux propriétés pour l'Horlogerie. Voyez plus bas; voyez aussi l'article Pendule. En 1697, M. Bernoulli professeur de Mathématiques à Groningue, proposa ce problème à tous les géometres de l'Europe; supposé qu'un corps tombât obliquement à l'horison, quelle étoit la digne courbe qu'il devoit décrire pour tomber le plus vîte qu'il fût possible. Car, ce qui peut paroître étonnant, il ne devoit point décrire une ligne droite, quoique plus courte que toutes les lignes courbes terminées par les mêmes points. Ce problème résolu, il se trouva que cette courbe étoit

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