"884"> tangente d'un cercle, c'est - à - dire d'une ligne droite qui touche un cercle sans le couper, interceptée entre deux lignes droites tirées du centre C par les extrémités de l'arc E A. La ligne F E est la tangente de l'angle A C E, comme aussi de l'angle A C I; de sorte que deux angles adjacens n'ont qu'une même tangente commune.

Co - tangente ou tangente du complément, c'est la tangente d'un arc qui est le complément d'un autre arc à un quart de cercle. Voyez Complément.

Ainsi la tangente de l'arc A H seroit la co - tangente de l'arc A E, ou la tangente du complément de l'arc A E.

Trouver la longueur de la tangente d'un arc quelconque, le sinus de l'arc étant donné. Supposons l'arc A E, le sinus donné A D, & la tangente cherchée E F. Puisque le sinus & la tangente sont perpendiculaires au rayon E C, ces lignes sont paralleles entre elles: ainsi le co - sinus D C est au sinus A D comme le sinus total est à la tangente E F. Voyez Sinus.

C'est pourquoi ayant une table des sinus, on construit facilement une table des tangentes.

Les tangentes artificielles sont les logarithmes des tangentes des arcs. Voyez Logarithme.

La ligne des tangentes est une ligne que l'on met ordinairement sur le compas de proportion. Voyez - en la description & l'usage à l'article Compas de proportion.

Tangente d'une section conique, comme d'une parabole, c'est une ligne droite qui ne touche ou qui ne rencontre la courbe qu'en un point, sans la couper ou sans entrer dedans. Voyez Conique, Courbe, &c.

En général, tangente d'une ligne courbe est une ligne droite qui étant prolongée de part & d'autre du point où elle rencontre cette courbe, est telle que les deux parties à droite & à gauche de cette ligne, tombent hors de la courbe, & qu'on ne puisse mener par ce même point aucune ligne droite qui soit entre la courbe & la tangente, & dont les deux parties soient situées hors de la courbe.

Méthode des tangentes. C'est une méthode de déterminer la grandeur & la position de la tangente d'une courbe quelconque algébrique, en supposant que l'on ait l'équation qui exprime la nature de cette courbe.

Cette méthode renferme un des plus grands usages du calcul différentiel. Voyez Différentiel.

Comme elle est d'un très - grand secours en Géométrie, elle semble mériter que nous nous y arrêtions ici particulierement. Voyez Soutangente.

Trouver la soutangente d'une courbe quelconque algébrique. Soit la demi - ordonnée p m infiniment proche d'une autre ordonnée P M (Pl. anal. fig. 13.), P p sera la différentielle de l'abscisse; & abaissant la perpendiculaire m R = P p, R m sera la différentielle de la demi - ordonnée. C'est pourquoi tirant la tangente T M, l'arc infiniment petit M m ne différera pas d'une ligne droite. Ainsi M m R sera un triangle rectangle rectiligne appellé ordinairement le triangle différentiel ou caractéristique de la courbe; à cause que les lignes courbes sont distinguées les unes des autres par le rapport variable des côtés de ce triangle.

Or à cause du parallélisme des lignes droites m R & T P l'angle M m R = M T P; ainsi le triangle M m R est semblable au triangle T M P. Soit donc A P = x, P M = y, on aura P p = m R = d x, & R M = d y. Par conséquent R M. m R :: P M. P T [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Présentement si on substitue, dans l'expression générale [omission: formula; to see, consult fac-similé version] de la sous - tangente P T, la valeur de d x prise de l'équation donnée d'une courbe quelcon<cb-> que, les quantités différentielles s'évanouiront, & la valeur de la sous - tangente sera exprimée en quantités ordinaires; d'où l'on déduit aisément la détermination de la tangente; ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

1°. L'équation qui exprime la nature de la parabole ordinaire est a x = y2. d'où l'on tire a d x = 2 y d y. & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. C'est - à - dire que la sous - tangente est double de l'abscisse.

2°. L'équation du cercle est a x - x x = y y donc a d x - 2 x d x = 2 y d y & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

3°. L'équation d'une ellipse est a y2 = a b x - b x2 ainsi [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Soit a ym + b xn + c yr xs + e = 0, qui est l'équation pour un grand nombre de courbes algébriques,

m a ym - 1 d y + n b xn - 1 d x + s c yr xs - 1 d x + + r c yr - 1 xs d y = 0 n b xn - 1 d x + s c yr xs - 1 d x = - m a ym - 1 d y <-> - r c yr - 1 xs d y [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Supposons, par exemple y2 - a x = 0; alors, en comparant avec la formule générale, on a a ym = y2 b xn = - a x a = 1. m = 2 b = - a. n = 1 c yr xs = 0 e = 0 c = 0. r = 0. s = 0

En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous - tangente, on a la sous - tangente de la parabole du premier genre = 2 y2 : a. Supposant y3 - x3 + a x y = 0, alors on aura a ym = y3; b xn = - x3; a = 1; m = 3; b = 1; n = 3. c yr xs = - a x y; e = 0 c = - ar = 1; s = 1 En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous - tangente, on a la sous - tangente de la courbe dont l'équation est donnée, P T = ( - 3 y3 + a y x): ( - 3 x2 - a y) = (3 y3 - a x y) : (3 x2 + a y); par conséquent A T = (3 y3 - a x y) : (3 x2 + a y) - x = =(3 y3 - a x y - 3 x3 - a x y) : (3 x2 + a y) = (3 a x y - 2 a x y) : 3 x2 + a y; la valeur de y3 - x3, c'est - à - dire a x y : (3 x2 + a y) étant substituée après l'avoir prise de l'équation de la courbe.

Quand l'expression de la sous - tangente est négative, c'est une marque que cette sous - tangente tombe du côté opposé à l'origine A des x, comme dans la fig. 13. Au contraire, quand la sous - tangente est positive, elle tombe du côté de A, comme dans les fig. 12. 14. n°. 1. & 14. n°. 2.

Quand la sous - tangente est infinie, alors la tangente est parallele à l'axe des x, comme dans les fig. 15. 16. 17. [p. 885]

Méthode inverse des tangentes. C'est une méthode de trouver l'équation ou la construction de quelque courbe par le moyen de la tangente ou de quelque autre ligne, dont la détermination dépend de la tangente donnée.

Cette méthode est une des plus grandes branches du calcul intégral. Voyez Intégral.

Nous allons donner son application dans ce qui suit. Les expressions différentielles de la tangente, de la sous tangente, &c. ayant été exposées dans l'article précédent; si l'on fait la valeur donnée égale à l'expression différencielle, & que l'on integre l'équation différencielle, ou qu'on la construise, si on ne peut pas l'intégrer, on aura la courbe que l'on cherche: par exemple.

1°. Trouver la ligne courbe, dont la sous - tangente = 2 y y : a. Puisque la sous tangente d'une ligne algébrique est = y d x : d y, on a y d x : d y = 2 y y : a & a y d x = 2 y2 d y donc a d x = 2 y d y donc a x = y2 ainsi la courbe cherchée est une parabole dont on a donné - la construction à l'article Parabole.

2°. Trouver la courbe, dont la sous - tangente est une troisieme proportionnelle à r - x & y. puisque [omission: formula; to see, consult fac-similé version] nous avons r - x : y = d y : d x & r d x - x d x = y d y donc r x - ½ x2 = ½ y2 donc 2 r x - x x = y2 ainsi la courbe cherchée est un cercle.

3°. Trouver une ligne où la sous - tangente soit égale à la demi - ordonnée. Puisque y d x : d y = y y d x = y d y d x = d y x = y il paroît donc que la ligne cherchée est une ligne droite.

4°. Pour trouver une courbe dont la sous - tangente soit constante, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; c'est l'équation d'une logarithmique, qui se construira par la quadrature de l'hyperbole. Voyez Hyperbole & Logarithmique.

Ces exemples suffisent dans un ouvrage tel que celui - ci, pour donner une idée de la méthode.

La méthode des tangentes est expliquée avec beaucoup de clarté, & appliquée à beaucoup d'exemples dans la seconde & la neuvieme sections de l'analyse des infiniment petits par M. le marquis de l'Hôpital. Voyez aussi, sur quelques difficultés de cette méthode, les Mém. de l'acad. de 1716 & 1723. Ces difficultés ont lieu, lorsque le numérateur & le dénominateur de la fraction qui expriment la sous - tangente, deviennent l'un & l'autre égaux à zéro. C'est ce qui arrive dans les points où il y a plusieurs branches qui s'entrecoupent; alors il faut différentier deux fois l'équation de la courbe, & la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version] se trouve avoir autant de valeur qu'il y a de branches. On peut voir sur cela, outre les mémoires cités, un mémoire de M. Camus, dans le volume de l'académie 1747, où cette matiere est exposée & discutée fort clairement. (O)

TANGER (Page 15:885)

TANGER, (Géog. mod.) par les anciens Romains Tingis, & par les Africains Tanja, ville d'Afrique au royaume de Fez. C'étoit la capitale de la colonie romaine dans la Mauritanie tangitane, & c'est de - là que partirent depuis les Maures qui soumirent l'Espagne. Tant qu'elle leur appartint elle brilla par sa splendeur, par ses édifices, & par ses environs, décorés de jardins & de maisons de plaisance, à cause des eaux qui s'y trouvent. Elle est bâtie dans une belle situation, à 50 lieues de Fez, du côté du nord, sur la côte de l'Océan, près du détroit de Gibraltar, qu'on y traverse en quelques heures. La mer s'élargit en avançant vers l'est. Son terrein n'est pas fertile, mais ses vallons sont arrosés par des sources, où l'on recueille en abondance des fruits de toute espece.

Les rois de Portugal firent des efforts dans le quinzieme siecle pour s'emparer de Tanger. Edouard roi de Portugal, y envoya son fils don Ferdinand pour assieger cette place en 1437, & ce fut sans succès. Le roi Alphonse fut encore obligé d'en lever le siege en 1463; mais ayant pris Arzile en 1471, les habitans de Tanger effrayés de cet événement, abandonnerent eux - mêmes leur ville, dont le duc de Bragance se mit en possession, l'on chanta des te Deum de cette conquête, non - seulement en Portugal, mais dans toute l'Andalousie, la Castille, & le royaume de Grenade.

En 1662, cette place fut donnée à Charles II. roi d'Angleterre, pour la dot de sa femme, l'infante de Portugal. Elle étoit alors défendue par deux citadelles; mais comme les frais qu'il en coutoit pour entretenir les ouvrages & la garnison, consommoient & au - delà, les avantages qu'on pouvoit en retirer, les Anglois céderent la place démantelée en 1684, aux rois de Maroc, qui en jouissent aujourd'hui. Long. suivant Ibn - Saïd, 8. 31. lat. 35. 30. Long. suivant Harrès, 15. 54. 15. lat. 35. 55. (D. J.)

Tanger (Page 15:885)

Tanger, le, (Géog. mod.) petite riviere d'Allemagne, dans la vieille marche. Elle a sa source pr*s du village de Colbits, & se jette dans l'Elbe à Tangermund, petite ville à laquelle elle donne son nom.

TANGERMUND (Page 15:885)

TANGERMUND, (Géog. mod.) ville d'Allemagne, dans le cercle de la basse - Saxe, à l'embouchure du Tanger dans l'Elbe, à dix lieues au nord - ouest de Brandebourg, & à deux de Standel. Long. 29. 43. latit. 62. 34.

TANGIBLE (Page 15:885)

TANGIBLE, voyez l'article Tactile.

TANGO (Page 15:885)

TANGO, (Géog. mod.) une des huit provinces de la contrée froide du nord de l'empire du Japon; elle a une journée & demie de largeur du sud au nord, & se partage en cinq districts; c'est un pays passablement bon, & la mer le fournit abondamment de poissons, d'écrevisses, &c. (D. J.)

TANGUE DE MER (Page 15:885)

TANGUE DE MER, (Hist. nat.) sorte de sable marin. Ce sable que les riverains des côtes maritimes de la basse Normandie ramassent sur les terres basses de la mer, pour la culture & l'engrais de leurs terres, ou pour en former le sel au feu, est une espece de terre sablonneuse beaucoup plus legere que les sables communs des fonds de la mer & du bord des côtes; ces derniers sont ordinairement blancs, roussâtres, jaunes, & d'autres nuances, suivant la nature de ces fonds; ils sont aussi lourds, denses & pierreux; la tangue au - contraire est très - légere, & approche plus de la qualité de la terre; c'est aussi par cette raison qu'elle se charge plus aisément du sel de l'eau de la mer.

La marée rapporte journellement la tangue le long des côtes des amirautés de Granville, Coutances, Port - Bail & Carteret, Cherbourg & d'Isigny; les riverains voisins de ces côtes, & même les laboureurs éloignés de plusieurs lieues de la mer, viennent la chercher.

Les uns répandent la tangue telle qu'ils l'apportent du rivage; les autres en font des tas, qu'ils nomment tombes & forieres, qu'ils forment de cette tangue, & de bonnes terres qu'ils mêlent ensemble, & quand ce mélange a resté quelque - tems en masse, où il se meurit, les laboureurs le répandent sur les terres qu'ils veulent ensemencer.

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