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Toutes les questions qui appartiennent à la progression géométrique sont résolues d'avance par quelqu'une de ces formules; nous allons en faire l'application à quelques exemples choisis propres à procurer les éclaircissemens nécessaires.

Exemple I. Entre deux nombres donnés p & d, trouver un nombre quelconque r de moyens proportionnels géométriques.

On connoît directement les premier & dernier termes de la progression supposée, & indirectement le nombre des termes (r + 2.). La question se rapporte donc au second article de la table, où l'on trouve [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: or l'exposant trouvé, le reste suit.

Que ce soit entre 2 & 54 qu'on demande deux moyens proportionnels; [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Et la progression est 2. 6. 18. 54.

Exemple II. Un barril est rempli d'un nombre c de pots de vin; chaque jour un valet fripon en tire un pot par la clé, qu'il remplace d'un pot d'eau qu'il verse par le bondon: on demande combien, au bout d'un nombre n de jours, il restera de vin dans le barril.

Après le premier jour, la quantité de vin restante est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c - 1. après le [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

On voit, sans qu'il soit besoin de pousser plus loin l'induction, qu'il regne ici une progression géométrique, où l'on connoît p (c - 1), m ( [omission: formula; to see, consult fac-similé version]), & n: ce qui ramene la question au 4e article de la table. On y trouve le dernier terme (duquel seul il s'agit ici) ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Si l'on suppose c = 20, & n = 4; la quantité de vin restante dans le barril à la fin du quatrieme jour, sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

c restant le même, si l'on demandoit combien il faudroit répéter de fois ce manége, pour qu'il se trouvât dans le barril précisément autant d'eau que de vin, c'est - à - dire dix pots de l'une & dix pots de l'autre.

Alors on connoîtroit p (19), d (10), & m (). La question se résoudroit donc par le premier article de la table, & l'on trouveroit [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; c'est - à - dire que du 14e pot il ne faudroit prendre (soit pour le vin qu'on tire, soit pour l'eau dont on le remplace) que la partie indiquée par la fraction.

Exemple III. Trouver la somme de la progression infinie ( [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. &c.) on suppose a < b.

Les trois élémens connus sont ici p ( [omission: formula; to see, consult fac-similé version], m [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & n (Œ); ce qui ramene la question au quatrieme cas de la table. . . . m étant une fraction plus petite que l'unité, rend la progression décroissante: mais on sait que pour la rendre croissante il n'y a qu'à la renverser; ou plûtôt il n'y a qu'à renverser la formule même qui donne la valeur de s, & l'appliquer sous cette forme. Elle deviendra [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; où il n'y a nul compte à tenir dans le numérateur du second terme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], quantité infiniment petite, puisque c'est une grandeur finie divisée par une autre infiniment grande. Substituant donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] au lieu de p, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], au lieu de 1 - m; on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; c'est - à - dire qu'en général en toute progression ainsi conditionnée, la somme est le premier terme même, dont le dénominateur a été diminué de l'unité.

Il suit que [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Desorte que pour avoir une progression infinie dont la somme soit un nombre quelconque entier ou rompu c, il n'y a qu'à en choisir le premier terme ( [omission: formula; to see, consult fac-similé version]), tel que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] (ce qu'on peut faire d'une infinité de manieres), & d'ailleurs prendre [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour l'exposant.

Exemple IV. Pour donner une idée des accroissemens rapides que reçoit la somme d'une progression géométrique, au bout d'un nombre, même assez médiocre, de termes, en voici un exemple sur la progression double, dont la marche est une des plus lentes: il est tiré, quant à l'historique, de la Mathématique universelle du P. Castel.

L'inventeur du jeu des échecs (y est - il raconté plus au long) fut pressé par son roi qu'il avoit comblé de gloire, de lui demander une récompense à son choix & proportionnée à la beauté de sa découverte. Après s'en être défendu long - tems, il se fit apporter un échiquer, & le montrant au prince: ordonnez, seigneur, lui dit - il, qu'il me soit délivré un grain de

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