Progression arithmétique. On la désigne par ce caractere (÷) qu'on met en tête de la suite dont les termes sont distingués entr'eux par de simples points. ÷ 1. 3. 5. 7. &c. est une progression arithmétique; où l'on voit que 3 est moyen proportionnel entre 1 & 5, 5 entre 3 & 7, &c. & que 2 est la différence constante de deux termes consécutifs quelconques.

Nommant p le premier terme & m la différence, toute progression arithmétique peut être représentée par celle - ci ÷ p. p + m. p + 2 m. p + 3 m. p + 4 m. &c.

Chaque terme n'étant que celui qui le précede augmenté de la différence, le second est le premier + la différence prise une fois; le troisieme, le premier + la différence prise deux fois; & ainsi de suite: ensorte que chaque terme n'est que le premier + la différence prise autant de fois - 1, que le rang qu'il occupe dans la suite exprime d'unités; ou, ce qui est la même chose, multipliée par la différence des quantiemes du premier terme & du terme cherché. Ce qui donne le moyen de trouver directement tel terme d qu'on voudra, pourvu qu'on sache le quantieme il est, & qu'on connoisse d'ailleurs p & m. Si n est le quantieme, on aura le terme même ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. D'où l'on tire, suivant le besoin, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Dans cette derniere égalité, le second membre est la différence des deux termes comparés, divisée par la différence de leurs quantiemes: & comme p & d sont indéterminés (puisqu'il est libre de faire commencer & de terminer la progression à quels termes on voudra), il résulte qu'on obtiendra toûjours m ou la différence de la progression, en divisant la différence de deux termes quelconques par celle de leurs quantiemes.

Il suit que qui connoît les deux premiers termes d'une progression, en connoît la différence, & dès - là toute la progression. Il n'est pas même nécessaire que les deux termes connus soient les deux premiers; ils peuvent être quelconques, pourvu qu'on sache leurs quantiemes. Car d'abord on aura la différence de la progression par la formule de m, en y substituant à (n - 1) la différence donnée des quantiemes des deux termes; ensuite on aura le premier terme par celle de p, en y substituant à d celui qu'on voudra des deux termes donnés, & à n son quantieme; par exemple, si 4 & 16 sont les sécond & sixieme termes d'une progression, la différence de celle - ci est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. & [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Si l'on compare les deux extrèmes d'une progression, soit avec deux autres termes quelconques également éloignés de l'un & de l'autre; soit avec celui du milieu, quand le nombre en est impair: il est clair que les quatre termes comparés dans le premier cas & les trois dans le second, sont en proportion. D'où il suit (Voyez Proportion) que la somme des extrèmes est égale à celle de tous autres deux termes pris à distance égale de l'un & de l'autre, & de plus au double du terme du milieu, quand le nombre des termes est impair.

La somme des extrèmes multipliée par le nombre des termes, seroit donc double de la somme entiere de la progression. Pour avoir celle - ci avec précision, il faut donc multiplier, ou la somme des extrèmes par la moitié du nombre des termes, quand ce nombre est pair; ou, s'il est impair, le nombre entier des termes par la moitié de la somme des extrèmes (qui dans ce cas est toûjours paire, étant la somme de deux termes de même nom)... on prescrit communément en ce dernier cas de multiplier la somme entiere des extrèmes par le nombre aussi entier des termes, puis de prendre la moitié du produit. Mais n'est - ce pas rendre gratuitement plus composée une opération qui de sa nature est simple?

Si l'on suppose p = 0, l'expression de la progression en devient plus simple; il n'y entre plus qu'une seule lettre, & elle se réduit à celle - ci: 0. m. 2 m. 3 m. &c. ou m x 0. m x 1. m x 2. m x 3. &c. Cette supposition n'a d'ailleurs rien qui choque; l'essence de la progression subsiste toute entiere, indépendamment de p. En effet une progression n'est telle qu'à raison de la différence qui regne entre ses termes: mais cette différence n'est point produite par p (grandeur constante & commune à tous les termes); elle ne l'est pas même par m, & pour la même raison; elle ne l'est donc que par les coëfficiens variables de m. Et comme ces coëfficiens sont les nombres naturels 0. 1. 2. 3. &c. il suit qu'à proprement parler il n'y a de progression arithmétique que celle

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