Ce terme est principalement employé en Géométrie pour la division d'un angle en trois parties égales.

La trisection géométrique des angles, telle que les anciens la demandoient, c'est - à - dire en n'employant que la seule regle & le compas, est un de ces problèmes qu'on a cherché en vain depuis plus de deux mille ans, & qui à cet égard, ainsi que la duplication du cube, peut être comparé à la quadrature du cercle.

La solution de ce problème dépend d'une équation du troisieme degré. On en peut voir le calcul & le détail dans différens ouvrages, entr'autres dans l'application de l'Algebre à la Géométrie de M. Guisnei, & dans le dixieme livre des sections coniques de M. le marquis de l'Hôpital. Nous ne croyons pas qu'il soit nécessaire de la donner ici; mais il sera bien plus ntile pour nos lecteurs d'examiner pourquoi ce problème est du troisieme degré.

Soit, fig. 13 d'Algebre, un cercle A C B D; on propose de diviser en trois parties égales l'arc A B, dont la corde est A B; on nomme le rayon du cercle r, la corde A B, a, & la corde inconnue A C du tiers de l'arc x; & on parvient, comme on le peut voir dans les ouvrages cités, à une équation qui monte au troisieme degré, & dans laquelle x a trois valeurs réelles; par conséquent le problème a trois solutions. Il paroît cependant au premier coup d'oeil qu'il devroit n'en avoir qu'une; car il n'y a certainement qu'une seule & unique valeur possible de la corde A C qui soutend le tiers de l'arc A B. Mais on fera réflexion que l'équation algébrique à laquelle on parvient, ne renferme point les arcs A B, A C, mais simplement leur corde; & que par conséquent x n'est pas seulement la corde du tiers de l'arc ACB, mais la corde du tiers de tout arc qui a A B pour corde: or tous les arcs qui ont A B pour corde sont, en nommant C la circonférence, les arcs A C B, A C B + c, A C B + 2 c, A C B + 3 c, A C B + 4 c, A C B + 5c, &c.

Et c - A C B ou A D B, 2 c - A C B, 3 c - A C B, 4 c - A C B, &c.

Maintenant je dis que la division de tous ces arcs en trois, fournit trois cordes différentes, & jamais plus de trois. Car 1°. soit le tiers de l'arc A C B, z, le tiers de l'arc A C B + c, y, le tiers de l'arc A C B + 2 c, u, cela donnera trois arcs différens qui auront chacun leurs cordes: voilà donc trois cordes différentes, & par conséquent les trois racines de l'équation. 2°. Il sembleroit d'abord que le tiers des autres arcs doit avoir chacun sa corde, & que par conséquent le problème auroit une infinité de solutions; mais on remarquera que l'arc A C B + 3 c a pour tiers c + z, donc la corde est la même que celle de y; que l'arc A C B + 4 c a pour tiers c + z, dont la corde est la même que celle de y; que l'arc A B C + 5 c a pour tiers c + u dont la corde est la même que celle de u, & ainsi de suite. De même on trouvera que A D B ou c - A C B a pour tiers c - u, parce que 3 c - 3 u = 3 c - 2 c - A B C. Or la corde de c - u est la même que celle de u. Par la même raison la corde du tiers de 2 c - A C B sera la même que celle de y, & celle de 3 c - A C B la même que celle de z, & ainsi de suite; donc la division à l'infini de tous ces arcs en trois, donne trois cordes différentes, & n'en donne pas plus de trois. Voilà pourquoi le problème est du troisieme degré.

Si on divisoit un arc en quatre parties, on trouveroit une équation du quatrieme degré, & on pourroit prouver de la même maniere qu'en effet cette division donne quatre cordes différentes, & jamais plus: la division d'un angle en cinq parties égales donnera par la même raison une équation du cinquieme degré, & ainsi de suite. Il nous suffit d'avoir ici mis le lecteur sur la voie, il pourra trouver facilement de lui - même la démonstration générale. Elle est fondée sur ce que l'arc A C B étant divisé en n parties, la corde de la ne partie de n c + ACB sera la même que la corde de la ne partie de A C B. (O)

TRISIDIS