"640"> des; en quoi ils se trompent grossierement, ces deux problêmes n'ayant aucun rapport.

Plusieurs géometres ont approché fort près de ce rapport. Archimede paroît avoir été un des premiers qui ont tenté de la decouvrir, & a trouvé par le moyen des polygones réguliers de 96 côtés inscrits & circonscrits au cercle, que ce rapport est comme 7 à 22. Voyez Polygone.

Quelques - uns des modernes ont approché beaucoup plus près, sur - tout Ludolphe de Ceulen qui a trouvé après des calculs infinis, qu'en supposant que ce diametre soit 1, la circonference est plus petite que 3. 14159265358979323846264338387950; mais plus grande que ce même nombre en mettant l'unité pour dernier chifre.

Les géometres ont encore eu recours à d'autres moyens, sur - tout à des especes de courbes particulieres qu'on appelle quadratrices; mais comme ces courbes sont méchaniques ou transcendantes, & non point géométriques, elle ne satisfait point exactement à la solution du problème. Voyez Transcendant, Méchanisme & Quadratrice.

On a donc employé à l'analyse, & tenté de resoudre ce problème par plusieurs méthodes différentes, & principalement en employant certaines séries qui donnent la quadrature approchée du cercle par une progression de termes. Voyez Série ou Suite.

En cherchant par exemple une ligne droite égale à la circonférence d'un cercle, on trouve en supposant pour le diametre, que la circonférence doit être [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. qui forment une suite infinie de fractions dont le numérateur est toujours 4, & dont les dénominateurs sont dans la suite naturelle des nombres inégaux; & tous ces termes sont alternativement trop grands & trop petits.

Si l'on pouvoit trouver la somme de cette suite, on auroit la quadrature du cercle; mais on ne l'a point encore trouvée, & il y a même apparence qu'on ne la découvrira de long - tems. On n'a point cependant démontré que la chose soit impossible, ni par conséquent que la quadrature du cercle le soit aussi.

D'ailleurs comme on peut exprimer la même grandeur par différentes séries, il peut se faire aussi que l'on puisse exprimer la circonférence d'un cercle par quelque autre série dont on puisse trouver la somme. Nous avons deux suites infinies qui expriment la raison de la circonférence au diametre, quoique d'une maniere indéfinie. La premiere a été découverte par M. Newton, qui a trouvé, en supposant pour le rayon, que le quart de la circonférence est [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. La seconde est de M. Léibnitz, qui trouve de même que le rayon étant l'arc de 45 degrés, est la moitié de [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. Voici la maniere de trouver chacune de ces séries par le calcul intégral; on la doit à M. Newton.

Quadrature du cercle par M. Newton. Soit le rayon du cercle A C = 1 (Planch. d'anal. fig. 24.) C P = x, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. à l'infini. Voyez Binome. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini.

Et [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à l'infini.

Lorsque x devient égal au rayon C A, l'espace D C P M se change en un quart de cercle. Substituant donc 1 à x, le quart de cercle sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. à l'infini. Cette même série peut servir à mesurer la surface entiere du cercle, en supposant son diametre = 1.

Quadrature du cercle par M. Léibnitz. Soit la tangente K B (Pl. d'analyse fig. 25.) = x, B C = 1; la secante A C infiniment proche de C K; décrivez avec le rayon C K le petit arc K L: vous aurez A K = d x, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Maintenant puisque les angles B & L sont droits, & l'angle B K C = K A C, à cause de la petitesse infinie de l'angle K C L, nous aurons K C : B C :: K A K L, c'est - à - dire [omission: formula; to see, consult fac-similé version] De plus, C K : K L :: C M : m M; c'est - à - dire [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Donc le secteur C M m = ½ d x : (1 + x2) = ½ (d x - x2 d x + x4 d x - x6 d x + x0 d x - x10 &c.) & l'on trouve, par le calcul intégral, le secteur B C M (dont la tangente K B est x) [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. & ainsi à l'infini. C'est pourquoi si B M est la huitieme partie du cercle ou un arc de 45d. le secteur sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. à l'infini. Donc le double de cette série [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. à l'infini, est le quart de cercle.

Quadrature des lunules. Quoiqu'on n'ait point encore trouvé jusqu'ici la quadrature parfaite du cercle entier, on a cependant découvert les moyens de quarrer plusieurs de ses portions. Hippocrate de Chio est le premier qui ait quarré une portion du cercle à qui sa figure a fait donner le nom de lunule. Voyez Lunule.

Cette quadrature ne dépend point de celle du cercle; mais aussi ne s'étend - elle que sur la lunule entiere ou sur sa moitié.

Quelques géometres modernes ont cependant trouvé la quadrature d'une portion de la lunule à volonté, indépendamment de celle du cercle; mais elle est toujours sujette à certaine restriction, qui empêche que la quadrature ne soit parfaite, ou, pour me servir du langage des Géometres, absolue & indéfinie.

M. le Marquis de l'Hopital a donné en 1701 une nouvelle maniere de quarrer les parties de la lunule prises en différentes manieres & sous différentes conditions; mais elle est sujette aux mêmes imperfections que les autres.

Quadrature de l'ellipse. L'ellipse est une courbe dont on n'a point encore trouvé la quadrature exacte; ce qui oblige d'avoir recours à une série. Soit A C (Planc. anal. fig. 26.) = a, G C = C, P C = x, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] mais [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à l'infini. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. à l'infini.

Si l'on substitue a au lieu de x, le quart de l'ellipse sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. à l'infini.

Il suit de là 1°. que si on fait [omission: formula; to see, consult fac-similé version], l'aire de l'ellipse sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. à l'infini. D'où il est évident qu'une ellipse est égale à un cercle dont le diametre est moyen proportionnel entre les axes conjugués de cette même ellipse. 2°. Qu'une ellipse est à un cercle dont le diametre est égal au grand axe, comme a c à a2; c'est à - dire comme c à a, ou comme le petit axe est au grand. D'où il suit que la quadrature du cercle donne celle de l'ellipse; & au contraire.

Quadrature de la parabole. Soit a x = y2 l'équation de la parabole, donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

D'où il suit que l'espace parabolique est au rectangle de la demi - ordonnée par l'abscisse comme x y à x y, c'est - à - dire comme 2 à 3. [p. 641]

Si la courbe n'étoit point décrite, & que l'on n'eût que son équation, en sorte que l'on ne sût point où l'on doit fixer l'origine de x, on feroit x = 0 dans l'intégrale; & effaçant tout ce qui est multiplié par x, on ajouteroit le restant, supposé qu'il y en eût, avec un signe contraire, & l'on auroit la quadrature cherchée. Mais cela demanderoit un détail trop profond pour appartenir à cet ouvrage: on en verra un exemple à la fin de cet article.

Quadrature de l'hyperbole. Mercator de Holstein, l'inventeur des suites infinies, est le premier qui en ait donné la quadrature analytique: il trouvoit sa suite par la division; mais MM. Newton & Léibnitz ont perfectionné sa méthode.

Maniere de quarrer l'hyperbole entre ses asymptotés, suivant la méthode de Mercator. Puisque dans une hyperbole entre ses asymptotes, a2 = b y + x y; si a = b = 1, ce que l'on peut supposer, puisque la détermination de b est arbitraire, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire (en faisant actuellement la division) [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini.

Quadrature de la cycloïde. On a dans cette courbe (Pl. anal. fig. 27.) A Q : Q P :: M S : m S.

Soit donc A Q = x, A B = 1, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais il est démontré que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. à l'infini. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] numérateurs des exposans étant diminués d'une unité dans la division par x) [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à l'infini. Donc la somme [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini, est la demi - ordonnée de la cycloïde Q M comparée à l'axe A P. D'où il suit que A M Q ou l'élément Q M S q de l'espace cycloïdal [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini. Donc la [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini, exprime le segment de la cycloïde A M Q.

Si l'on multiplie [omission: formula; to see, consult fac-similé version] par G M = A Q = x, on aura l'élément de l'aire [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui étant le même que l'élément du segment de cercle A P Q, l'espace A M G sera égal au segment de cercle A P Q, & par conséquent l'aire A D C égale au demi - cercle A P B.

Puis donc que C B est égal à la moitié de la circonférence du cercle, si l'on suppose celle - ci = p & A B = a, le rectangle B C D A sera = a p; & le demi-cercle A P B, & par conséquent l'espace cycloïdal externe A D C = ¼ a p. Donc l'aire de la moitié de la cycloïde [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & A M C B P A = ½ a p. D'où il suit que l'aire de la cycloïde est triple du cercle générateur.

Quadrature de la logarithmique. Soit la soutangente P T (Pl. anal. fig. 28.) = a, P M = x, P p = d x, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Donc l'espace indéterminé H P M I est égal au rectangle de P M par P T. Soit 1°. Q s = z: pour lors l'espace 1 S Q H = a z; & par conséquent S M P Q = a y - a z = a (y - z); c'est - à - dire que l'espace compris entre deux ordonnées est égal au rectangle de la soutangente, par la différence de ces ordonnées. 2°. Donc l'espace B A P M est à l'espace P M S Q comme la différence des ordonnées A B & P M est à celle des ordonnées P M & S Q.

Quadrature de la courbe de Descartes, exprimée par l'équation b2 : x2 :: b - x : y. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Quadrature de toutes les courbes comprises sous l'équation générale [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Pour rendre l'élément intégrable, supposons [omission: formula; to see, consult fac-similé version] soit x = 0. le restant [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc l'aire de la courbe [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Cette derniere opération est fondée sur deux principes. 1°. que l'aire de la courbe doit être nulle quand x = 0. 2°. Il faut que l'aire de la courbe soit telle que sa différence soit d x. (x + a)1 : m. Or en ajoutant le [omission: formula; to see, consult fac-similé version], avec un signe contraire, on satisfait à ces deux conditions, comme il est facile de s'en assûrer.

Comme les méthodes pour la quadrature des courbes sont presque toutes fondées ou sur les suites, ou sur le calcul intégral, il s'ensuit que pour se mettre au fait de cette matiere, il faut se rendre familier l'usage des suites & les méthodes du calcul integral. Voyez Suite & Calcul intégral. (O)

Quadrature de la lune (Page 13:641)

Quadrature de la lune, en Astronomie, est l'aspect ou la situation de la lune, lorsque sa distance au soleil est de 90 degrés. Voyez Lune.

La quadrature de la lune arrive lorsqu'elle est dans un point de son orbite également distant des points de conjonction & d'opposition; ce qui arrive deux fois dans chacune de ses révolutions, savoir au premier & troisieme quartier. Voyez Orbite, Opposition, & Conjonction.

Quand la lune est en quadrature on ne voit que la moitié de son disque; on dit alors qu'elle est dichotome, comme qui diroit coupée en deux. Voyez Phase & Dichotomie.

Lorsqu'elle avance des sysygies à la quadrature, sa gravitation vers la terre est d'abord diminuée par l'action du soleil, & son mouvement est retardé par la même raison, ensuite la gravitation de la lune est augmentée jusqu'à ce qu'elle arrive aux quadratures. Voyez Gravitation.

A mesure qu'elle s'éloigne de ses quadratures en avançant vers les sysygies, sa gravitation vers la terre est d'abord augmentée, puis diminuée. Voyez Sysygies.

C'est ce qui fait, selon M. Newton, que l'orbite de la lune est plus convexe toutes choses d'ailleurs égales à ses quadratures qu'à ses sysygies; c'est aussi ce qui fait que la lune est moins distante de la terre aux sysygies, & l'est plus aux quadratures toutes choses égales. Voyez Orbite.

Lorsque la lune est aux quadratures, ou qu'elle n'en est pas fort éloignée, les apsides de son orbite sont rétrogrades; mais elles sont progressives aux sysygies. Voyez Apsides.

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