ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS
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ra a m q; c'est - à - dire, l'intérêt dû à la fin de chaque
année, multiplié par le nombre des années: & si
l'intérêt est composé, la somme dûe au bout de ce
tems, sera a(1+m)q - a, c'est - à - dire la somme totale
dûe à la fin du nombre d'années exprimé par
q; de laquelle somme il faut retrancher le principal.
Pour avoir l'expression arithmétique de a(1+m)q
- a, supposons que la somme prêtée ou le principal
soit 1000000 liv. que le nombre des années soit
10, & que le denier soit 20; il faudra chercher
une fraction qui soit égale à 21/20 multiplié par lui
même 10 fois moins une, c'est - à - dire 9 fois; ce
qu'on peut trouver aisément par le secours des logarithmes
(Voyez Logarithme); & cette fraction
étant diminuée de l'unité & multipliée par 1000000,
donnera la somme cherchée.
Ceux de nos lecteurs qui sont un peu algébristes,
verront aisément surquoi ces deux formules sont
fondées. Les autres en trouveront la raison à l'article
Intérêt, avec beaucoup d'autres remarques
importantes sur cette matiere.
On pourroit au reste se proposer ici une difficulté.
Dans le cas où l'intérêt est simple, ce qui dépend
de la convention entre le débiteur & le créancier,
le débiteur ne doit en tout à la fin d'un nombre
d'années q, que la somme totale a+amq, composée
du principal a, & du denier am répété autant
de sois qu'il y a d'années: ainsi retranchant
de la somme totale qui est dûe, le principal a, il
ne reste que amq d'arrérages à payer en argent
comptant. Mais dans le cas où l'intérêt est composé,
l'intérêt joint au principal devient chaque année un
nouveau principal; ainsi à la fin de la q - 1e année,
ou ce qui revient au même, au commencement
de la qe année, le débiteur est dans le même cas
que s'il recevoit du créancier la somme a(1+m)q - 1
de principal. Cette somme travaillant pendant l'année,
le debiteur doit à la fin de cette année la somme
totale a(1+m)q, d'où retranchant le principal
a(1+m)q - 1 qui est censé prêté à la fin de
l'année précédente, il s'ensuit, ou il paroît s'ensuivre,
que le débiteur à la fin de la qe année doit
payer au créancier en argent comptant la somme
a(1+m)q - a(1+m)q - 1 & non pas a(1+m)q - a.
Pour rendre cette difficulté plus sensible, examinons
en quoi consiste proprement le payement d'une rente.
Un particulier prête une somme à un autre;
au bout de l'année le débiteur doit la somme totale
a+am, tant pour le principal que pour l'intérêt;
de cette somme totale il ne paye que la partie a m;
ainsi il reste débiteur de la partie a comme au commencement
de la premiere année: donc le débiteur
qui paye exactement sa rente est dans le même cas
que si chaque année il rendoit au créancier la somme
a+am, & qu'en même temps le créancier lui
reprêtât la somme a: donc tout ce que le débiteur
ne rend point au créancier est censé au commencement
de chaque année former un nouveau principal
dont il doit à la fin de l'année les intérêts en argent
comptant. Ainsi à la fin de la q - 1e année le débiteur
est censé recevoir a(1+m)q - 1 de principal: donc
à la fin de l'année suivante il doit payer a(1+m)q
- a(1+m)q - 1 d'argent comptant, par la même raison
que s'il recevoit b en argent comptant, il devroit
payer à la fin de l'année b(1+m) - b.
La réponse à cette difficulté est que la quantité
d'argent que le débiteur doit payer, dépend absolument
de la convention qu'il fera avec le créancier,
& que d'une maniere ou d'une autre le créancier n'est
nullement lésé; car si le débiteur paye à la fin de
la qe année la somme a(1+m)q - a, il ne devra
donc plus au créancier au commencement de l'année
suivante que la somme a; il se retrouvera dans le
même cas où il étoit avant le temps où il a cessé de
payer, & à la fin de l'année q+1e il ne devra au
créancier que la somme a m. Mais si le débiteur ne
paye que la somme a(1+m)q - a(1+m)q - 1, laquelle
est moindre que a(m+1)q - a, toutes les
fois que q est plus grand que 1, comme on le suppose
ici; alors le débiteur au commencement de la
q+1e année se trouvera redevable d'une somme
plus grande que a; & s'il veut en faire la rente
annuelle, il devra payer a(1+m)qxm d'intérêt
chaque année en argent comptant. Ainsi le créancier
recevra une somme moindre ou plus grande dans
les années qui suivront celle du payement des arrérages, selon que le débiteur aura donné pour le
payement de ces arrérages une somme plus ou moins
grande. Il n'est donc lésé ni dans l'un ni dans l'autre
cas, & tout dépend de la convention qu'il voudra
faire avec le débiteur.
Autre question qu'on peut faire sur les arrérages
dans le cas d'intérêt composé. Nous avons vû que
le débiteur au commencement de la qe. année doit
la somme totale a(1+m)q - 1; supposons qu'il
veuille s'acquiter au milieu de l'année suivante, &
non pas à la fin, que doit - il payer pour les arrérages? Il est visible que pour résoudre cette question
il faut dabord savoir ce que le débiteur doit au
milieu de la qe année. En premier lieu le principal
ou somme totale a(1+m)q - 1 étant multiplié
par 1+m doit donner la somme qui sera dûe à la
fin de la qe. année, savoir a(1+m)q, ou ce qui
revient au même, le débiteur devra à la fin de cette
année a(1+m)q - 1 plus l'intérêt de cette somme,
c'est - à - dire, a(1+m)q - 1xm. Dans le cours de
l'année il doit d'abord a(1+m)q - 1 qui est le principal;
il doit de plus une portion de ce principal
pour l'intérêt qui court depuis le commencement de
l'année: cette portion doit certainement être moindre
que a(1+m)q - 1xm, qui est l'intérêt dû à la
fin de l'année: mais quelle doit - elle être? bien des
gens s'imaginent que pour l'intérêt de la demi - année
il faut prendre la moitié de l'intérêt de l'année, c'est - à - dire a(1+m)q - 1xm/2, le tiers de l'intérêt pour
le tiers de l'année, & ainsi du reste: mais ils sont
dans l'erreur. En effet, qu'arrive - t - il dans le cas de
l'intérêt composé? c'est que les sommes dûes au bout
de chaque année sont en progression géométrique,
comme il est aisé de le voir. Or, pourquoi cette loi
n'auroit - elle pas lieu aussi pour les portions d'années,
comme pour les années entieres? J'avoue que je ne
vois point quelle en pourroit être la raison. La somme
dûe à la fin de la q - 1e année est a(1+m)q - 1, celle
qui est dûe à la fin de la qe année est a(1+m)q, celle
qui seroit dûe à la fin de la q+1e seroit a(1+m)q+1;
& ces trois sommes sont dans une proportion géométrique
continue. Donc la somme dûe au milieu
de la qe année doit être moyenne proportionnelle
géométrique entre les deux sommes dûes au commencement
& à la fin de cette année, c'est - à - dire entre a
(1+m)q - 1 & a(1+m)q; donc cette somme sera a
(1+m)q - 1/2=a(1+m)q - 1x(1+m)1/2. Or cette
somme est moindre que a(1+m)q - 1+a(1+m)q - 1
xm/2 qui seroit dûe suivant l'hypothese que nous
combattons.
De même s'il est question de ce qui est dû au
bout du tiers de la qe année, on trouvera que la
somme cherchée est la premiere de deux moyennes
proportionnelles géométriques entre a(1+m)q - 1
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