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M. Dangicourt nous a donné, dans les Miscell. Berol. t. I. un long mémoire fur cette Arithmétique binaire: il y fait voir qu'il est plus aisé de découvrir par ce moyen les lois des progressions, qu'en se servant de toute autre méthode où l'on feroit usage d'un plus grand nombre de caracteres.
L'Arithmétique tétractique est celle où l'on n'emploie
que les
L'Arithmétique vulgaire roule sur les entiers & les
fractions. Voyez
L'Arithmétique sexagésimale est celle qui procede
par soixantaines, ou bien c'est la doctrine des fractions
sexagesimales. Voyez
L'Arithmétique des infinis est la méthode de trouver
la somme d'une suite de nombres dont les termes
sont infinis, ou d'en déterminer les rapports. Voyez
M. Wallis est le premier qui ait traité à fond de
cette méthode, ainsi qu'il paroît par ses Opera mathematica, où il en fait voir l'usage en Géométrie,
pour déterminer l'aire des surfaces & la solidité des
corps, ainsi que leurs rapports: mais la méthode des
fluxions, qui est l'Arithmétique universelle des infinis,
exécute tout cela d'une maniere beaucoup plus
prompte & plus commode, indépendamment d'une
infinité d'autres choses auxquelles la premiere ne sauroit
atteindre. Voyez
Sur l'Arithmétique des incommensurables ou irrationels,
V.
Jean de Sacrobosco ou Halifax composa en 1232,
selon Wossius, un traité d'Arithmétique: mais ce traité
a toûjours resté manuscrit; & selon M. l'abbé de Gua,
Paciolo qui a donné le premier livre d'Algebre, est
aussi le premier auteur d'Arithmétique qui ait été imprimé.
Voyez
Jusqu'ici nous nous sommes contentés d'exposer en abregé ce que l'on trouve à peu - près dans la plûpart des ouvrages mathématiques sur la science des nombres, & nous n'avons guere fait que traduire l'article Arithmétique tel qu'il se trouve dans l'Encyclopédie Angloise; tâchons presentement d'entier davantage dans les principes de cette Science, & d'en donner une idée plus précise.
Nous remarquerons d'abord que tout nombre, suivant
la définition de M. Newton, n'est proprement
qu'un rapport. Pour entendre ceci, il faut remarquer
que toute grandeur qu'on compare à une autre, est
ou plus petite, ou plus grande, ou égale; qu'ainsi toute
grandeur a un certain rapport avec une autre à laquelle
on la compare, c'est - à - dire qu'elle y est contenue
ou la contient d'une certaine maniere; ce rapport
ou cette maniere de contenir ou d'être contenu,
est ce qu'on appelle nombre. Ainsi le nombre 3 exprime
le rapport d'une grandeur à une autre plus petite,
que l'on prend pour l'unité, & que la plus grande
contient trois fois. Au contraire la fraction 1/3 exprime
le rapport d'une certaine grandeur à une plus grande
que l'on prend pour l'unité, & qui est contenue
trois fors dans cette plus grande. Tout cela sera exposé
plus en détail aux articles
Les nombres étant des rapports apperçûs par l'esprit, & distingués par des signes particuliers, l'Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l'art de combiner entr'eux ces rapports, en se servant pour
Il y a, comme l'on sait, deux sortes de rapports,
l'arithmétique & le géométrique. V.
A l'égard du détail des opérations particulieres de l'Arithmétique, il dépend de la forme & de l'institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n'a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins; & les Romains qui avoient des chiffres différens de ceux dont nous nous servons, devoient aussi avoir des regles d'Arithmétique toutes différentes des nôtres. Mais toute Arithmétique se réduira toûjours aux quatre regles dont nous parlons, parce que de quelque maniere qu'on désigne ou qu'on écrive les rapports, on ne peut jamais les combiner que de quatre façons, & même, à proprement parler, de deux manieres seulement, dont chacune peut être envisagée sous deux faces différentes.
On pourroit dire encore que toutes les regles de l'Arithmétique se réduisent, ou à former un tout par la réunion de différentes parties, comme dans l'addition & la multiplication, ou à résoudre un tout en différentes parties, ce qui s'exécute par la soustraction & la division. En effet, la multiplication n'est qu'une addition repétée, & la division n'est aussi qu'une soustraction repétée. D'où il s'ensuit encore que les regles primitives de l'Arithmétique peuvent, à la rigueur, se réduire à l'addition & à la soustraction: la multiplication & la division ne sont proprement que des manieres abregées de faire l'addition d'un même nombre plusieurs fois à lui - même, ou de soustraire plusieurs fois un même nombre d'un autre. Aussi M. Newton appelle - t - il les regles de l'Arithméque, compositio & resolutio arithmetica, c'est - à - dire, composition & résolution des nombres.
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