ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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M. Dangicourt nous a donné, dans les Miscell. Berol. t. I. un long mémoire fur cette Arithmétique binaire: il y fait voir qu'il est plus aisé de découvrir par ce moyen les lois des progressions, qu'en se servant de toute autre méthode où l'on feroit usage d'un plus grand nombre de caracteres.

L'Arithmétique tétractique est celle où l'on n'emploie que les figures 1, 2, 3, & o. Erhard Weigel nous a donné un traité de cette Arithmétique: mais la binaire & la tétractique ne sont guere que de curiosité, relativement à la pratique, puisque l'on peut exprimer les nombres d'une maniere beaucoup plus abregée par l'Arithmétique décimale.

L'Arithmétique vulgaire roule sur les entiers & les fractions. Voyez Entier & Fraction.

L'Arithmétique sexagésimale est celle qui procede par soixantaines, ou bien c'est la doctrine des fractions sexagesimales. Voyez Sexagésimal. Sam. Reyher a inventé une epece de baguettes sexagénales, à l'imitation des bâtons de Neper, par le moyen desquelles on fait avec facilité toutes les opérations de l'Arithmétique sexagésimale.

L'Arithmétique des infinis est la méthode de trouver la somme d'une suite de nombres dont les termes sont infinis, ou d'en déterminer les rapports. Voyez Infini, Suite ou Serie, &c.

M. Wallis est le premier qui ait traité à fond de cette méthode, ainsi qu'il paroît par ses Opera mathematica, où il en fait voir l'usage en Géométrie, pour déterminer l'aire des surfaces & la solidité des corps, ainsi que leurs rapports: mais la méthode des fluxions, qui est l'Arithmétique universelle des infinis, exécute tout cela d'une maniere beaucoup plus prompte & plus commode, indépendamment d'une infinité d'autres choses auxquelles la premiere ne sauroit atteindre. Voyez Fluxions, Calcul, &c.

Sur l'Arithmétique des incommensurables ou irrationels, V. Incommensurable, Irrationel, &c.

Jean de Sacrobosco ou Halifax composa en 1232, selon Wossius, un traité d'Arithmétique: mais ce traité a toûjours resté manuscrit; & selon M. l'abbé de Gua, Paciolo qui a donné le premier livre d'Algebre, est aussi le premier auteur d'Arithmétique qui ait été imprimé. Voyez Algebre. (E)

Jusqu'ici nous nous sommes contentés d'exposer en abregé ce que l'on trouve à peu - près dans la plûpart des ouvrages mathématiques sur la science des nombres, & nous n'avons guere fait que traduire l'article Arithmétique tel qu'il se trouve dans l'Encyclopédie Angloise; tâchons presentement d'entier davantage dans les principes de cette Science, & d'en donner une idée plus précise.

Nous remarquerons d'abord que tout nombre, suivant la définition de M. Newton, n'est proprement qu'un rapport. Pour entendre ceci, il faut remarquer que toute grandeur qu'on compare à une autre, est ou plus petite, ou plus grande, ou égale; qu'ainsi toute grandeur a un certain rapport avec une autre à laquelle on la compare, c'est - à - dire qu'elle y est contenue ou la contient d'une certaine maniere; ce rapport ou cette maniere de contenir ou d'être contenu, est ce qu'on appelle nombre. Ainsi le nombre 3 exprime le rapport d'une grandeur à une autre plus petite, que l'on prend pour l'unité, & que la plus grande contient trois fois. Au contraire la fraction 1/3 exprime le rapport d'une certaine grandeur à une plus grande que l'on prend pour l'unité, & qui est contenue trois fors dans cette plus grande. Tout cela sera exposé plus en détail aux articles Nombre, Fraction, &c.

Les nombres étant des rapports apperçûs par l'esprit, & distingués par des signes particuliers, l'Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l'art de combiner entr'eux ces rapports, en se servant pour faire cette combinaison des signes mêmes qui les distinguent. De - là les quatre principales regles de l'Arithmétique; car les différentes combinaisons qu'on peut faire des rapports, se réduisent ou à examiner l'excès des uns sur les autres, ou la maniere dont ils se contiennent: l'addition & la soustraction ont le premier objet, puisqu'il ne s'agit que d'y ajoûter ou d'y soustraire des rapports; le second objet est celui de la multiplication & de la division, puisqu'on y détermine de quelle maniere un rapport en contient un autre. Tout cela sera expliqué plus en détail aux articles Multiplication & Division.

Il y a, comme l'on sait, deux sortes de rapports, l'arithmétique & le géométrique. V. Rapport. Les nombres ne sont proprement que des rapports géométriques: mais il semble que dans les deux premieres regles de l'Arithmétique on considere arithmétiquement ces rapports, & que dans les deux autres on les considere géométriquement. Dans l'addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres), l'un des deux nombres représente l'excès de la somme sur l'autre nombre. Dans la multiplication l'un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l'autre nombre. Voyez Somme, Produit.

A l'égard du détail des opérations particulieres de l'Arithmétique, il dépend de la forme & de l'institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n'a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins; & les Romains qui avoient des chiffres différens de ceux dont nous nous servons, devoient aussi avoir des regles d'Arithmétique toutes différentes des nôtres. Mais toute Arithmétique se réduira toûjours aux quatre regles dont nous parlons, parce que de quelque maniere qu'on désigne ou qu'on écrive les rapports, on ne peut jamais les combiner que de quatre façons, & même, à proprement parler, de deux manieres seulement, dont chacune peut être envisagée sous deux faces différentes.

On pourroit dire encore que toutes les regles de l'Arithmétique se réduisent, ou à former un tout par la réunion de différentes parties, comme dans l'addition & la multiplication, ou à résoudre un tout en différentes parties, ce qui s'exécute par la soustraction & la division. En effet, la multiplication n'est qu'une addition repétée, & la division n'est aussi qu'une soustraction repétée. D'où il s'ensuit encore que les regles primitives de l'Arithmétique peuvent, à la rigueur, se réduire à l'addition & à la soustraction: la multiplication & la division ne sont proprement que des manieres abregées de faire l'addition d'un même nombre plusieurs fois à lui - même, ou de soustraire plusieurs fois un même nombre d'un autre. Aussi M. Newton appelle - t - il les regles de l'Arithméque, compositio & resolutio arithmetica, c'est - à - dire, composition & résolution des nombres.

Arithmétique universelle

Arithmétique universelle; c'est ainsi que M. Newton appelle l'Algebre, ou calcul des grandeurs en général; & ce n'est pas sans raison que cette dénomination lui a été donnée par ce grand homme, dont le génie également lumineux & profond paroît avoir remonté dans toutes les sciences à leurs vrais principes metaphysiques. En effet, dans l'Arithmétique ordinaire, on peut remarquer deux especes de principes; les premiers sont des regles générales, indépendantes des signes particuliers par lesquelles on exprime les nombres; les autres sont des regles dépendantes de ces mêmes signes, & ce sont celles qu'on appelle plus particulierement regles de l'Arithmétique. Mais les premiers principes ne sont autre chose que des propriétés générales des rapports, qui ont lieu de quelque maniere que ces rapports soient désignés: telles sont par exemple ces

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