Les angles se marquent quelquefois par une seule lettre, comme A que l'on met au sommet ou point angulaire; & quelquefois par trois lettres, dont celle du milieu marque la pointe ou sommet de l'angle, comme BAC.

La mesur d'un angle, par laquelle on exprime sa quantité, est un arc tel que DE, décrit du sommet A entre les côtés AC, AB, avec un rayon pris à volonté. Voyez Arc & Mesure.

D'où il s'ensuit que les angles se distinguent par le rapport de leurs arcs à la circonférence du cercle entier. Voyez Cercle & Circonférence. Ainsi l'on dit qu'un angle est d'autant de degrés qu'en contient l'arc DE qui le mesure. Voyez Degré.

Puisque les arcs semblables AB, DE, figure 87. ont le même rapport à leurs circonférences respectives, & que les circonférences contiennent chacune le même nombre de degrés, il s'ensuit que les arcs AB, DE, qui sont les mesures des deux angles ACB, DCE, contiennent un nombre égal de degrés: c'est pourquoi les angles eux - mêmes sont aussi égaux; & comme la quantité d'un angle s'estime par le rapport de fon arc à la circonférence, il n'importe avec quel rayon cet arc est décrit; car les mesures d'angles égaux sont toûjours ou des arcs égaux, ou des arcs semblables.

Donc la quantité d'un angle demeure toûjours la même, soit que l'on prolonge ses côtés, soit qu'on les racourcisse. Ainsi dans des figures semblables, les angles homologues ou correspondans sont égaux. Voyez Semblable, Figure, &c.

L'art de prendre la valeur des angles est une opération d'un grand usage & d'une grande étendue dans l'Arpentage, la Navigation, la Géographie, l'Astronomie, &c. Voyez Hauteur, Arpentage.

Les instrumens qui servent principalement à cette opération, sont les quarts de cercle, les théodolites ou planchettes rondes, les graphometres, &c. V. Cercle d'Arpenteur, Planchette, Graphometre , &c.

Les angles dont il faut déterminer la mesure ou la quantité, sont sur le papier ou sur le terrein. 1°. Quand ils sont sur le papier, il n'y a qu'à appliquer le centre d'un rapporteur sur le sommet de l'angle O, (Table d'Arpent. fig. 29.) de maniere que le rayon OB soit couché sur l'un des côtés de cet angle; alors le degré que coupera l'autre côté OP sur l'arc du rapporteur, donnera la quantité de l'angle proposé. V. Rapporteur. On peut aussi déterminer la grandeur d'un angle par le moyen de la ligne des cordes. Voyez Corde & Compas de proportion.

2°. Quand il s'agit de prendre des angles sur le terrein, il faut placer un graphometre ou un demi - cercle, (fig. 16.) de telle sorte que le rayon CG de l'instrument réponde bien exactement à l'un des côtés de l'angle, & que le centre C soit verticalement au - dessus du sommet: on parvient à la premiere de ces opérations, en observant par les pinnules E, G, quelque objet remarquable, placé à l'extrémité ou sur l'un des points du côté de l'angle; & à la seconde, en laissant tomber un plomb du centre de l'instrument. Ensuite on fait aller & venir l'alidade jusqu'à ce que l'on apperçoive par ses pinnules quelque marque placée sur l'un des points de l'autre côté de l'angle: & alors le degré que l'alidade coupe sur le limbe de l'instrument, fait connoître la quantité de l'angle que l'on se proposoit de mesurer. V. Demicercle.

L'on peut voir aux articles Cercle d'Arpenteur, Planchette, Boussole , &c. comment l'on prend des angles avec ces instrumens.

Que l'on consulte aussi les articles Lever un plan & Rapporter, pour savoir la maniere de tracer un angle fur le papier quand sa grandeur est donnée.

Pour couper en deux parties égales un angle donné, tel que HIK (Table de Géom. fig. 92) du centre I avec un rayon quelconque, décrivez un arc LMI. Des points L, M, & d'une ouverture plus grande que la distance LM, tracez deux arcs qui s'entrecoupent au point N; si vous tirez alors la ligne droite IN, vous aurez l'angle HIN égal à l'angle NIK.

Pour couper un angle en trois parties égales, voyez le mot Trisection.

Les angles sont de différentes especes, & ont différens noms. Quand on les considere par rapport à leurs côtés, on les divise en rectilignes, en curvilignes & mixtes.

L'angle rectiligne est celui dont les côtés sont tous deux des lignes droites; tel est l'angle BAC, Table de Géom. fig. 91. Voyez Rectiligne.

L'angle curviligne est celui dont les deux côtés sont des lignes courbes. Voyez Courbe & Curviligne.

L'angle mixte ou mixtiligne est celui dont un des côtés est une ligne droite, & l'autre une courbe.

Par rapport à la grandeur des angles, on les distingue encore en droits, aigus, obtus, & obliques.

L'angle droit est formé par une ligne qui tombe perpendiculairement sur une autre; ou bien c'est celui qui est mesuré par un arc de 90 degrés: tel est l'angle KLM, fig. 93. V. Perpendiculaire.

La mesure d'un angle droit est donc un quart de cercle, & par conséquent tous les angles droits sont égaux entr'eux. Voyez Cercle.

L'angle aigu est plus petit qu'un angle droit, c'est - à - dire, qu'il est mesuré par un arc moindre que l'arc de 90 degrés: tel est l'angle AEC, fig. 86. Voyez Aigu.

L'angle obtus est plus grand que l'angle droit, c'est - à - dire que sa mesure excede 90 degrés, comme l'angle AED, fig. 86. Voyez Obtus.

L'angle oblique est un nom commun aux angles obtus & aigus. Voyez Oblique.

Par rapport à la situation des angles l'un à l'égard de l'autre, on les divise en contigus, adjacens, verticaux, alternes & opposés.

Les angles contigus sont ceux qui ont le même sommet & un côté commun: tels sont les angles FGH, HGI, fig. 94. Voyez Contigu.

L'angle adjacent, ou autrement l'angle de suite, est celui qui est formé par le prolongement de l'un des côtés d'un autre angle e est l'angle AEC (fig. 86) formé par le prolongement du côté ED de l'angle AED jusqu'au point C. Voyez Adjacent.

Deux angles quelconques adjacens x, y, ou un nombre quelconque d'angles faits au même point E sur la même ligne droite CD, sont, pris ensemble, égaux à deux angles droits, & par conséquent à 180d. Il suit de là que l'un de deux angles contigus étant donné, l'autre est aussi nécessairement donné, étant

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