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La méthode la plus simple & la plus facile d'approcher de la racine d'un nombre, est celle - ci: je suppose, par exemple qu'on veuille tirer la racine quarrée de 2; au lieu de 2, j'écris la fraction 20000/10000, qui lui est égale, ayant soin que le dénominateur 10000 soit un nombre quarré, c'est - à - dire, renferme un nombre pair de zeros; ensuite je tire la racine quarrée du numérateur 20000; cette racine, que je peux avoir à une unité près, étant divisée par 100, qui est la racine du dénominateur, j'aurai à 1/100 près la racine de 20000/10000, c'est - à - dire, de 2.
Si on vouloit avoir la racine plus approchée, il faudroit écrire 2000000/1000000, & on auroit la racine à 1/1000 près, &c. de même pour avoir la racine cubique de 2, il faudroit écrire 2000000/1000000, 1000000 étant un nombre cubique, & on auroit la racine à 1/100 près, & ainsi à l'infini.
Soit aa+b un nombre quelconque qui ne soit
pas un quarré parfait, & a
Soit proposé d'avoir la racine d'une équation par
Soit 8+y la racine de l'équation proposée, ensorte que y soit une fraction égale à la quantité dont 8 est plus grand ou plus petit que la racine cherchée, on aura donc
x2 =64+16y+y2 - 5x= - 40 - 5y - 31= - 31. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7+11y+y2 =0.
Or comme une fraction devient d'autant plus petite
que la puissance à laquelle elle se trouve élevée
est grande, & que nous ne nous proposons que d'avoir
une valeur approchée de la racine de l'équation,
nous négligerons le terme y
- 7+11y=0 - - - - - - - - - - - - - - - y=7/11=6/10 à peu - près=0.6. Donc x=8+0.6=8.6.
Soit encore x=8.6+y, on aura
x2 =7396/100+172/10y+y2 - 5x= - 430/10 - 5y - 31= - 31. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7396/100 - 430/10 - 31+172/10y - 5y=0.
Réduisant les fractions au même dénominateur, on aura l'équation suivante: [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
- 0.04+1220y=0. - - - - - - - - - - - - - - - 12.20y=0.04. - - - - - - - - - - - - - - - y=004:12.20=0.0032. Donc x=8.6000+0.0032=8.6032.
Soit encore x=8.6032+y: on aura
x2 =7401505024+17.206400007+y2 - 5x= - 43.01600000 - 500000000 - 31= - 31.00000000. - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.000094976 - 12.20640000y=0. - - - - - - - - - - - - - - - y=0.000094976:12.20640000y=0.000077808. Donc x=8.6032000000+0.0000076808 =8.603277808.
Soit maintenant cette équation du troisieme degré,
dont il faut chercher la racine par approximation,
x
Soit donc la racine de cette équation 5+y. Comme on peut négliger les termes où y se trouve au second & au troisieme degré, il n'est pas nécessaire de les exprimer dans la transformation. On aura donc seulement
x3 =125+75y +2x2 =50+20y - 23x=115 - 23y - 70= - 70. - - - - - - - - - - - - - - 10+72y=0. - - - - - - - - - - - - - y= - 10/72=0.1. Donc x=5+0.1=5.1.
Soit derechef x=5.1+y, on aura
x3 =132.651+73.030y +2x2 =52.020+20.400y - 23x= - 117.300 - 23.000y - 70= - 70.000. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2.629+75.430y=0 75.430y=2.629. - - - - - - - - - - - - - - - - - y=2.629:75.430=0.0348.
Donc x=5.1+0.0348=5.1348, & ainsi de suite à l'infini. Il est évident que plus on réitérera l'opération, plus la valeur de x approchera de la valeur exacte de la racine de l'équation proposée.
Cette méthode pour approcher des racines des
équations numériques, est dûe à M. Newton. Dans
les Mém. de l'Acad. de 1744, on trouve un mémoire
de M. le marquis de Courtivron, où il perfectionne
& simplifie cette méthode. Dans les mêmes Mémoires, M. Nicole donne aussi une méthode pour approcher
des racines des équations du troisieme degré
dans le cas irréductible; & M. Clairaut, dans ses
Elémens d'Algebre, enseigne aussi une maniere d'approcher
de la racine d'une équation du troisieme
degré dans ce même cas. V.
Au figuré, l'appui a plus de rapport à la force & à l'autorité; le soûtien, au crédit & à l'habileté; & le support, à l'affection & à l'amitié.
Il faut appuyer nos amis dans leurs prétensions, les soûtenir dans l'adversité, & les supporter dans leurs momens d'humeur.
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