ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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On peut même quelquefois appliquer la Géométrie à l'Arithmétique. c'est - à - dire, se servir de la Géométrie, pour démontrer plus aisément sans Analyse & d'une maniere générale, certains théorèmes d'Arithmétique; par exemple, que la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, &c. ajoûtés successivement, donne la suite des quarrés 1, 4, 9, 16, 25, &c.

Pour cela, faites un triangle rectangle ABE (fig. 65. Méchan.) dont un côté soit horisontal, & l'autre vertical (je les désigne par horisontal & vertical pour fixer l'imagination): divisez le côté vertical AB en tant de parties égales que vous voudrez, & par les points de division 1, 2, 3, 4, &c. menez les paralleles 1 f. 2 g, &c. à BE; vous aurez d'abord le petit triangle A 1 f, ensuite le trapeze 1 fg 2, qui vaudra trois fois ce triangle, puis un troisieme trapeze 2 gh 3, qui vaudra cinq fois le triangle. De sorte que les espaces terminés par ces paralleles 1 f, 2 g. &c. seront représentés par les nombres suivans, 1, 3, 5, 7, &c. en commençant par le triangle A 1 f, & designant ce triangle par 1, 5.

Or les sommes de ces espaces seront les triangles A 1 f, A 2 g, A 3 h, &c. qui sont comme les quarrés des côtés A 1, A 2, A 3, c'est - à - dire, comme 1, 4, 9, &c. donc la somme des nombres impairs donne la somme des nombres quarrés. On peut sans doute démontrer cette proposition algébriquement: mais la démonstration précédente peut satisfaire ceux qui ignorent l'Algebre. Voyez Accélération.

Application

Application de la Géométrie & de l'Algebre à la Méchanique. Elle est fondée sur les mêmes principes que l'application de l'Algebre à la Géométrie. Elle consiste principalement à représenter par des équations les courbes que décrivent les corps dans leur mouvement, à déterminer l'équation entre les espaces que les corps décrivent (lorsqu'ils sont animés par des forces quelconques), & le tems qu'ils employent à parcourir ces espaces, &c. On ne peut, à la vérité, comparer ensemble deux choses d'une nature différente, telles que l'espace & le tems: mais on peut comparer le rapport des parties du tems avec celui des parties de l'espace parcouru. Le tems, par sa nature, coule uniformément. & la méchanique suppose cette uniformité. Du reste, sans connoître le tems en lui - même, & sans en avoir de mesure précise, nous ne pouvons représenter plus clairement le rapport de ses parties, que par celui des parties d'une ligne droite indéfinie. Or l'analogie qu'il y a entre le rapport des parties d'une telle ligne, & celui des parties de l'espace parcouru par un corps qui se meut d'une maniere quelconque, peut toûjours être exprimé par une équation. On peut donc imaginer une courbe, dont les abscisses représentent les portions du tems écoulé depuis le commencement du mouvement; les ordonnées correspondantes désignant les espaces parcourus durant ces portions de tems. L'équation de cette courbe exprimera, non le rapport des tems aux espaces, mais, si on peut parler ainsi, le rapport du rapport que les parties de tems ont à leur unité, à celui que les parties de l'espace parcouru ont à la leur; car l'equation d'une courbe peut être considérée, ou comme exprimant le rapport des ordonnées aux abscisses, ou comme l'équation entre le rapport que les ordonnées ont à leur unité, & celui que les abscisses correspondantes ont à la leur.

Il est donc évident que par l'application seule de la Géométrie & du calcul, on peut, sans le secours d'aucun autre principe, trouver les propriétés générales du mouvement, varié suivant une loi quelconque. On peut voir à l'article Accélération un exemple de l'application de la Géométrie à la Méchanique; les tems de la descente d'un corps pesant y sont représentés par l'abscisse d'un triangle, les vîtesses par les ordonnées, (Voyez Abscisse & Ordon<cb-> née ) & les espaces parcourus par l'aire des parties du triangle. Voyez Trajectoire, Mouvement, Tems , &c.

Application

Application de la Méchanique à la Géométrie. Elle consiste principalement dans l'usage qu'on fait quelquefois du centre de gravité des figures, pour déterminer les solides qu'elles forment. V. Centre de Gravité

Application

Application de la Géométrie & de l'Astronomie à la Géographie. Elle consiste en trois choses. 1°. A déterminer par les opérations géométriques & astronomiques la figure du globe que nous habitons. Voyez Figure de la Terre , & Degré, &c. 2°. A trouver par l'observation des longitudes & des latitudes la position des lieux. V. Longitude & Latitude. 3°. A déterminer par des opérations géométriques, la position des lieux peu éloignés l'un de l'autre. Voyez Carte.

L'Astronomie & la Géométrie sont aussi d'un grand usage dans la navigation. V. Navigation, &c.

Application

Application de la Géométrie & de l'Analyse à la Physique. C'est à M. Newton qu'on la doit, comme on doit à M. Descartes l'application de l'Algebre à la Géométrie. Elle est fondée sur les mêmes principes que l'application de l'Algebre à la Géométrie. La plûpart des proprietés des corps ont entr'elles des rapports plus ou moins marqués que nous pouvons comparer, & c'est à quoi nous parvenons par la Géométrie, & par l'Analyse ou Algebre. C'est sur cette application que sont fondées toutes les sciences physicomathématiques. Une seule observation ou expérience donne souvent toute une science. Supposez, comme on le sait par l'expérience, que les rayons de lumiere se réfléchissent en faisant l'angle d'incidence égal à l'angle de réflexion, vous aurez toute la Catoptrique. V. Catoptrique. Cette expérience une fois admise, la Catoptrique devient une science purement géométrique, puisqu'elle se réduit à comparer des angles & des lignes données de position. Il en est de même d'une infinité d'autres. En général, c'est par le secours de la Géométrie & de l'Analyse, que l'on parvient à déterminer la quantité d'un effet qui dépend d'un autre effet mieux connu. Donc cette science nous est presque toûjours nécessaire dans la comparaison & l'examen des faits que l'expérience nous decouvre. Il faut avoüer cependant que les différens sujets de Physique ne sont pas également susceptibles de l'application de la Géométrie. Plusieurs expériences, telles que celles de l'aimant, de l'électricité, & une infinité d'autres, ne donnent aucune prise au calcul; en ce cas il faut s'abstenir de l'y appliquer. Les Géometres tombent quelquefois dans ce défaut, en substituant des hypotheses aux expériences, & calculant en conséquence: mais ces calculs ne doivent avoir de force qu'autant que les hypotheses sur lesquelles ils sont appuyés, sont conformes à la nature; & il faut pour cela que les observations les confirment, ce qui par malheur n'arrive pas toûjours. D'ailleurs quand les hypotheses seroient vraies, elles ne sont pas toûjours suffisantes. S'il y a dans un effet un grand nombre de circonstances dûes à plusieurs causes qui agissent à la fois, & qu'on se contente de considérer quelques - unes de ces causes, parce qu'étant plus simples, leur effet peut être calculé plus aisément; on pourra bien par cette méthode avoir l'effet partiel de ces causes: mais cet effet sera fort différent de l'effet total, qui résulte de la réunion de toutes les causes.

Application

Application de la Méthode géométrique à la Métaphysique. On a quelquefois abusé de la Géométrie dans la Physique, en appliquant le calcul des propriétés des corps à des hypotheses arbitraires. Dans les Sciences qui ne peuvent par leur nature être soûmises à aucun calcul, on a abusé de la méthode des

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