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En général si (A+Bn) (n+q) (n+q - 1)
(n+q - 2) . . . . n, est le n
Cette formule est beaucoup plus générale que
celle qui fait trouver les nombres figurés; car si au
lieu de supposer que la premiere suite soit formée
des nombres naturels, on suppose qu'elle forme une
progression arithmétique quelconque, on peut par le
moyen de la formule qu'on vient de voir, trouver
la somme de toutes les autres suites qui en seront
dérivées à l'infini, & chaque terme de ces suites. En
effet le n
M. Jacques Bernoulli dans son traité de seriebus
infinitis earumque summâ infinitâ, a donné une méthode
très - ingénieuse de trouver la somme d'une suite,
dont les termes ont 1 pour numérateur, & pour
dénominateurs des nombres figurés d'un ordre quelconque,
à commencer aux triangulaires. Voici en
deux mots l'esprit de cette méthode: Si de la fraction
[omission: formula; to see, consult fac-similé version], on retranche [omission: formula; to see, consult fac-similé version],
on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
D'où il est aisé de conclure que la somme d'une suite,
dont les dénominateurs sont, par exemple, les
nombres triangulaires, se trouvera aisément en retranchant
de la suite 1, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. cette même suite
diminuée de son premier terme, & multipliant ensuite
par 2, ce qui donnera 2. Voyez dans l'ouvrage
cité le détail de cette méthode. Voyez aussi l'art.
On peut regarder comme des nombres figurés les nombres polygones, quoiqu'on ne leur donne pas ordinairement ce nom. Ces nombres ne sont autre chose que la somme des termes d'une progression arithmétique; si la progression est des nombres naturels, ce sont les nombres triangulaires; si la progression est 1, 3, 5, 7, &c. ce sont les nombres quarrés; si elle est 1, 4, 7, 10, &c. ce sont les nombres pentagones. Voici la raison de cette dénomination: Construisez un polygone quelconque, & mettez un point à chaque angle; ensuite d'un de ces angles tirez des lignes à l'extrémité de chaque côté, ces lignes seront en nombre égal au nombre des côtés du polygone moins deux, ou plûtôt au nombre des côtés, en comptant deux des côtés pour deux de ces lignes; prolongez ces lignes du double, & joignez les extrémités par des lignes droites, vous formerez un nouveau polygone, dont chaque côté étant double de son correspondant parallele, contiendra un point de plus. Donc si m est le nombre des côtés de ce polygone, la circonférence de ce polygone aura
Une simple figure fera voir aisément tout cela, & montrera que pour les nombres pentagones où m=5, on a m - 2=3, & qu'ainsi ces nombres sont la somme de la progression 1, 4, 7, &c. dont la différence est trois.
On pourroit former des sommes, des nombres polygones,
qu'on appelleroit nombres polygones pyramidaux; ces nombres exprimeroient le nombre des
points d'une pyramide pentagone quelconque. On
trouveroit ces nombres par les méthodes données
dans cet article. Voyez
On peut distinguer deux especes de pierres figurées, 1°. il y en a qui ne doivent leur figure qu'à de purs effets du hasard, c'est ce qu'on appelle communément des jeux de la nature. Des circonstances toutes naturelles, & qui ont pû varier à l'infini, paroissent avoir concouru pour faire prendre à la matiere lapidifique molle dans son origine, des figures singulieres parfaitement étrangeres au regne minéral, que cette matiere a conservées après avoir acquis un plus grand degré de dureté. Ces pierres figurées sont en très grand nombre; la nature en les formant a agi sans conséquence, & sans suivre de regles constantes; elles ne sont donc redevables qu'à de purs accidens de la figure qu'on y remarque, ou pour mieux dire, que croit souvent y remarquer l'oeil préoccupé d'un curieux qui forme un cabinet, ou d'un naturaliste enthousiaste, qui souvent apperçoit dans des pierres des choses qu'on n'y trouveroit pas en les examinant de sang - froid. On peut regarder comme des pierres figurées de cette premiere espece, les marbres de Florence sur lesquels on voit ou l'on croit voir des ruines de villes & de châteaux; les cailloux d'Egypte, qui nous présentent comme des paysages, des grottes, &c. un grand nombre d'agates, les dendrites, les pierres herborisées, quelques pierres qui ressemblent à des fruits, à des os, ou à quelques autres substances végétales ou animales.
2°. Il y a des pierres figurées qui sont réellement redevables
de leurs figures à des corps étrangers au
regne minéral, qui ont servi comme de moules, dans
lesquels la matiere lapidifique encore molle, ayant
été reçûe peu - à - peu, s'est durcie après avoir pris la
figure du corps dans lequel elle a été moulée, tandis
que le moule a été souvent entierement détruit; cependant
on en trouve quelquefois encore une partie
qui est restée attachée à la pierre à qui il a fait prendre
sa figure. Ces pierres sont de différentes natures,
suivant la matiere lapidifique qui est venue remplir
les moules qui lui étoient présentés. Dans ce cas il
ne reste souvent du corps qui a servi de moule, que
la figure. On doit regarder comme des pierres figurées
de cette seconde espece, un grand nombre de pierres
qui ressemblent à des coquilles, des madrépores, du
bois, des poissons, des animaux, &c. ou qui portent
des empreintes de ces substances. Voyez l'article
Il paroît que les deux especes de pierres dont nous
venons de parler, méritent seules d'être appellées
pierres figurées. Cependant quelques naturalistes n'ont
point fait difficulté de donner ce nom à un grand
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