ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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[omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui est le [omission: formula; to see, consult fac-similé version] nombre figuré de l'ordre précédent, comme cela doit être.

En général si (A+Bn) (n+q) (n+q - 1) (n+q - 2) . . . . n, est le ne terme d'une suite quelconque, & qu'on prenne successivement la somme des termes de cette suite, le ne terme de la nouvelle suite ainsi formée sera (A+Bn) (n+q+1) (n+q) (n+q - 1) . . . . . n; A & B étant deux indéterminées qu'on déterminera par cette condition, que le n+1e terme de la nouvelle suite moins le ne de cette même suite soit égal au n+1e terme de la suite donnée. D'où l'on tire, en supprimant de part & d'autre les facteurs communs (n+q+1) .... (n+1) (A+Bn+B)X(n+q+2) - (A+Bn) Xn=A+Bn+B, & par conséquent B [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & A [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Cette formule est beaucoup plus générale que celle qui fait trouver les nombres figurés; car si au lieu de supposer que la premiere suite soit formée des nombres naturels, on suppose qu'elle forme une progression arithmétique quelconque, on peut par le moyen de la formule qu'on vient de voir, trouver la somme de toutes les autres suites qui en seront dérivées à l'infini, & chaque terme de ces suites. En effet le ne terme de la premiere suite étant A+Bn, le ne terme de la seconde suite sera (A+Bn) n; le terme de la troisieme suite sera (G+Dn) (n+1) n, & ainsi de suite, G & D se déterminant par A & B, comme A & B par A & B, &c. A l'égard de la somme des termes d'une suite quelconque, il est visible qu'elle est égale au ne terme de la suivante.

M. Jacques Bernoulli dans son traité de seriebus infinitis earumque summâ infinitâ, a donné une méthode très - ingénieuse de trouver la somme d'une suite, dont les termes ont 1 pour numérateur, & pour dénominateurs des nombres figurés d'un ordre quelconque, à commencer aux triangulaires. Voici en deux mots l'esprit de cette méthode: Si de la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on retranche [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. D'où il est aisé de conclure que la somme d'une suite, dont les dénominateurs sont, par exemple, les nombres triangulaires, se trouvera aisément en retranchant de la suite 1, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. cette même suite diminuée de son premier terme, & multipliant ensuite par 2, ce qui donnera 2. Voyez dans l'ouvrage cité le détail de cette méthode. Voyez aussi l'art. Suite ou Série.

On peut regarder comme des nombres figurés les nombres polygones, quoiqu'on ne leur donne pas ordinairement ce nom. Ces nombres ne sont autre chose que la somme des termes d'une progression arithmétique; si la progression est des nombres naturels, ce sont les nombres triangulaires; si la progression est 1, 3, 5, 7, &c. ce sont les nombres quarrés; si elle est 1, 4, 7, 10, &c. ce sont les nombres pentagones. Voici la raison de cette dénomination: Construisez un polygone quelconque, & mettez un point à chaque angle; ensuite d'un de ces angles tirez des lignes à l'extrémité de chaque côté, ces lignes seront en nombre égal au nombre des côtés du polygone moins deux, ou plûtôt au nombre des côtés, en comptant deux des côtés pour deux de ces lignes; prolongez ces lignes du double, & joignez les extrémités par des lignes droites, vous formerez un nouveau polygone, dont chaque côté étant double de son correspondant parallele, contiendra un point de plus. Donc si m est le nombre des côtés de ce polygone, la circonférence de ce polygone aura m points de plus que la circonférence du précédent; & le polygone entier, c'est à - dire l'aire de ce polygone contiendra m - 2 points de plus que le précédent. Voyez Polygone.

Une simple figure fera voir aisément tout cela, & montrera que pour les nombres pentagones où m=5, on a m - 2=3, & qu'ainsi ces nombres sont la somme de la progression 1, 4, 7, &c. dont la différence est trois.

On pourroit former des sommes, des nombres polygones, qu'on appelleroit nombres polygones pyramidaux; ces nombres exprimeroient le nombre des points d'une pyramide pentagone quelconque. On trouveroit ces nombres par les méthodes données dans cet article. Voyez Polygone, Pyramidal, Suite ou Série, &c. (O)

FIGURÉES

FIGURÉES, (Pierres.) Hist. nat. Minéralogie. on donne ce nom dans l'Histoire naturelle aux pierres dans lesquelles on remarque une conformation singuliere, inusitée & tout - à - fait étrangere au regne minéral, quoiqu'on les trouve répandues dans le sein de la terre & à sa surface, & quoique la substance dont elles sont composées soit de la même nature que celle des autres pierres.

On peut distinguer deux especes de pierres figurées, 1°. il y en a qui ne doivent leur figure qu'à de purs effets du hasard, c'est ce qu'on appelle communément des jeux de la nature. Des circonstances toutes naturelles, & qui ont pû varier à l'infini, paroissent avoir concouru pour faire prendre à la matiere lapidifique molle dans son origine, des figures singulieres parfaitement étrangeres au regne minéral, que cette matiere a conservées après avoir acquis un plus grand degré de dureté. Ces pierres figurées sont en très grand nombre; la nature en les formant a agi sans conséquence, & sans suivre de regles constantes; elles ne sont donc redevables qu'à de purs accidens de la figure qu'on y remarque, ou pour mieux dire, que croit souvent y remarquer l'oeil préoccupé d'un curieux qui forme un cabinet, ou d'un naturaliste enthousiaste, qui souvent apperçoit dans des pierres des choses qu'on n'y trouveroit pas en les examinant de sang - froid. On peut regarder comme des pierres figurées de cette premiere espece, les marbres de Florence sur lesquels on voit ou l'on croit voir des ruines de villes & de châteaux; les cailloux d'Egypte, qui nous présentent comme des paysages, des grottes, &c. un grand nombre d'agates, les dendrites, les pierres herborisées, quelques pierres qui ressemblent à des fruits, à des os, ou à quelques autres substances végétales ou animales.

2°. Il y a des pierres figurées qui sont réellement redevables de leurs figures à des corps étrangers au regne minéral, qui ont servi comme de moules, dans lesquels la matiere lapidifique encore molle, ayant été reçûe peu - à - peu, s'est durcie après avoir pris la figure du corps dans lequel elle a été moulée, tandis que le moule a été souvent entierement détruit; cependant on en trouve quelquefois encore une partie qui est restée attachée à la pierre à qui il a fait prendre sa figure. Ces pierres sont de différentes natures, suivant la matiere lapidifique qui est venue remplir les moules qui lui étoient présentés. Dans ce cas il ne reste souvent du corps qui a servi de moule, que la figure. On doit regarder comme des pierres figurées de cette seconde espece, un grand nombre de pierres qui ressemblent à des coquilles, des madrépores, du bois, des poissons, des animaux, &c. ou qui portent des empreintes de ces substances. Voyez l'article Pétrification.

Il paroît que les deux especes de pierres dont nous venons de parler, méritent seules d'être appellées pierres figurées. Cependant quelques naturalistes n'ont point fait difficulté de donner ce nom à un grand

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