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Feu M. Bernoulli proposa aux Géometres en 1697, de déterminer quelle étoit cette courbe. Le problème fut résolu par M. Jacques Bernoulli son frere, alors professeur de Mathématique à Bâle, par M. Leibnitz, par M. le Marquis de l'Hôpital, & par M. Newton. M. Bernoulli avoit averti les Géometres dans son programme, que la ligne droite A B, passant par les deux points A, B, quoiqu'elle fût la plus courte de toutes celles qu'on pouvoit faire passer par ces points, n'étoit pas néanmoins celle qu'un corps pesant, tombant de A, devoit parcourir en moins de tems; & en effet, on trouva que c'étoit une cycloïde, ou plûtôt un arc de cycloïde passant par les points A, B, & dont le point A étoit l'origine. V. Cycloïde.

Il n'est pas impossible de faire sentir à ceux même qui sont peu versés dans la Méchanique transcendante, comment il peut se faire que la ligne droite A B ne soit pas la ligne de la plus courte descente. Car, imaginons la ligne horisontale E C qui partage la courbe A C B en deux parties A C, C B, telles que la partie A C soit plus courte que A E, & la partie C B plus longue que E B; il est certain que le corps A arrivera en C plûtôt qu'il n'arriveroit en E, puisqu'il aura moins de chemin à faire. Il est vrai qu'il employera ensuite plus de tems à parcourir C B, qu'il n'en mettra à parcourir E B; mais il faut remarquer que les tems employés à parcourir les lignes A E, A C, C B, E B, ne sont point entr'eux comme ces lignes, parce que le corps ne les décrit pas d'un mouvement uniforme; ainsi il ne doit pas paroître impossible que l'excès du tems par A E sur le tems par A C, soit plus grand que l'excès du tems par C B sur le tems par E B. Ainsi de ce que la ligne droite A B est plus courte que la ligne courbe A C B, il ne s'ensuit nullement que la ligne droite A B doive être descendue en moins de tems que la ligne courbe A C B. L'espece de raisonnement métaphysique que nous venons de faire, peut bien servir à faire soupçonner que la ligne de la plus vîte descente peut être une courbe: mais ce raisonnement ne sauroit jamais être une démonstration. C'est par le calcul seul qu'on peut s'assûrer si ce qu'on a soupçonné est vrai, & le calcul démontre en effet qu'on a soupçonné juste. Voici à peu près comment on s'y prend pour déterminer la courbe de la plus vîte descente. Soit A C B cette courbe, & ayant pris un arc infiniment petit C c, soit imaginé un arc quelconque infiniment petit C O c, terminé aux points C, c; il est évident que le corps pesant arrivé en C, doit parcourir l'arc C c, en moins de tems que l'arc C O c. Car s'il étoit moins de tems à parcourir l'arc C O c, alors ce seroit A C O c B, & non A C B qui seroit la courbe de la plus vîte descente, ce qui est contre l'hypothese. Ainsi la propriété de la courbe dont il s'agit, est telle, qu'un de ses arcs quelconques infiniment petits C c, est parcouru en moins de tems que tout autre arc infiniment petit C O c, passant par les mêmes points C, c.

Maintenant soient imaginés les points infiniment proches C, c, & soit cherchée sur la ligne horisontale Q L, la position du point K, tel, que C K c soit parcouru en moins de tems que tout autre chemin C k c, passant par C & c, on trouvera (Voyez Réfraction) en menant les lignes K R, c r, perpendiculaires à Q L, que le sinus de l'angle C K R doit être au sinus de K c r, comme la vîtesse le long de C K à la vîtesse le long de K c: d'où il s'ensuit que la courbe cherchée doit être telle que le sinus de l'angle qu'un de ses côtés quelconque infiniment petit C K fait avec la verticale K R, soit proportionnel à la vîtesse en K; laquelle vîtesse est comme la racine quarrée de la hauteur d'où le corps est parti. Or en achevant le calcul, ou trouve que cette propriété convient à la cycloïde. Voyez Cycloïde.

Si l'on supposoit qu'un corpuscule de lumiere tra<cb-> versât l'atmosphere, de maniere qu'il arrivât d'un point à un autre dans le plus court tems possible, la courbe qu'il décriroit seroit une brachy stochrone, pourvû que l'on fit certaines hypotheses sur la densité du milieu. Voyez Réfraction, Action, Causes finales

Voyez dans les Mémoires de l'Academ. de 1718. deux solutions du problème de la brachystochrone, données par M. Bernoulli, & toutes deux fort simples. Galilée a cru faussement que la brachystochrone étoit un arc de cercle. La Géométrie de son tems n'étoit pas encore assez avancée pour rétoudre ce problème. On trouve dans le second de la Méchanique de M. Euler, imprimé à Peterurg 1736. une solution très - élegante de ces promes & des themes fort simples & fort généraux sur les propriétés de la brachystochrone; la solution du probleme devient beaucoup plus difficile lorsqu'on suppose que le corps se meut dans un milieu résistant, parce qu'alors la vitesse ne dépend pas de la hauur seule. M. Euler a donné aussi la brachystochrone pour ce cas - là, ce que personne n'avoit encore fait avant lui. (O)

BRACHITES