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Si la courbe n'étoit point décrite, & que l'on n'eût que son équation, en sorte que l'on ne sût point où l'on doit fixer l'origine de x, on feroit x = 0 dans l'intégrale; & effaçant tout ce qui est multiplié par x, on ajouteroit le restant, supposé qu'il y en eût, avec un signe contraire, & l'on auroit la quadrature cherchée. Mais cela demanderoit un détail trop profond pour appartenir à cet ouvrage: on en verra un exemple à la fin de cet article.

Quadrature de l'hyperbole. Mercator de Holstein, l'inventeur des suites infinies, est le premier qui en ait donné la quadrature analytique: il trouvoit sa suite par la division; mais MM. Newton & Léibnitz ont perfectionné sa méthode.

Maniere de quarrer l'hyperbole entre ses asymptotés, suivant la méthode de Mercator. Puisque dans une hyperbole entre ses asymptotes, a2 = b y + x y; si a = b = 1, ce que l'on peut supposer, puisque la détermination de b est arbitraire, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire (en faisant actuellement la division) [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini.

Quadrature de la cycloïde. On a dans cette courbe (Pl. anal. fig. 27.) A Q : Q P :: M S : m S.

Soit donc A Q = x, A B = 1, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais il est démontré que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. à l'infini. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version] numérateurs des exposans étant diminués d'une unité dans la division par x) [omission: formula; to see, consult fac-similé version] à l'infini. Donc la somme [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini, est la demi - ordonnée de la cycloïde Q M comparée à l'axe A P. D'où il suit que A M Q ou l'élément Q M S q de l'espace cycloïdal [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini. Donc la [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. à l'infini, exprime le segment de la cycloïde A M Q.

Si l'on multiplie [omission: formula; to see, consult fac-similé version] par G M = A Q = x, on aura l'élément de l'aire [omission: formula; to see, consult fac-similé version] qui étant le même que l'élément du segment de cercle A P Q, l'espace A M G sera égal au segment de cercle A P Q, & par conséquent l'aire A D C égale au demi - cercle A P B.

Puis donc que C B est égal à la moitié de la circonférence du cercle, si l'on suppose celle - ci = p & A B = a, le rectangle B C D A sera = a p; & le demi-cercle A P B, & par conséquent l'espace cycloïdal externe A D C = ¼ a p. Donc l'aire de la moitié de la cycloïde [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & A M C B P A = ½ a p. D'où il suit que l'aire de la cycloïde est triple du cercle générateur.

Quadrature de la logarithmique. Soit la soutangente P T (Pl. anal. fig. 28.) = a, P M = x, P p = d x, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Donc l'espace indéterminé H P M I est égal au rectangle de P M par P T. Soit 1°. Q s = z: pour lors l'espace 1 S Q H = a z; & par conséquent S M P Q = a y - a z = a (y - z); c'est - à - dire que l'espace compris entre deux ordonnées est égal au rectangle de la soutangente, par la différence de ces ordonnées. 2°. Donc l'espace B A P M est à l'espace P M S Q comme la différence des ordonnées A B & P M est à celle des ordonnées P M & S Q.

Quadrature de la courbe de Descartes, exprimée par l'équation b2 : x2 :: b - x : y. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Quadrature de toutes les courbes comprises sous l'équation générale [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Pour rendre l'élément intégrable, supposons [omission: formula; to see, consult fac-similé version] soit x = 0. le restant [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc l'aire de la courbe [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Cette derniere opération est fondée sur deux principes. 1°. que l'aire de la courbe doit être nulle quand x = 0. 2°. Il faut que l'aire de la courbe soit telle que sa différence soit d x. (x + a)1 : m. Or en ajoutant le [omission: formula; to see, consult fac-similé version], avec un signe contraire, on satisfait à ces deux conditions, comme il est facile de s'en assûrer.

Comme les méthodes pour la quadrature des courbes sont presque toutes fondées ou sur les suites, ou sur le calcul intégral, il s'ensuit que pour se mettre au fait de cette matiere, il faut se rendre familier l'usage des suites & les méthodes du calcul integral. Voyez Suite & Calcul intégral. (O)

Quadrature de la lune