"136"> de quarante - huit piés ou de huit toises, non compris l'espace occupé par les officiers.

Si le bataillon n'est que sur quatre rangs, il n'aura que trente - six piés de profondeur, attendu que ses rangs ne donneront que trois intervalles: mais alors son front augmentera; car six cents cinquante divisés par quatre, donnent cent soixante - deux hommes par chaque rang: multipliant ces hommes par les deux piés qu'ils occupent sur le terrein, on aura trois cents vingt - quatre piés, ou cinquante - quatre toises pour le front du même bataillon.

Ce modele de calcul ou de supputation peut servir pour toutes sortes de bataillons dont le nombre d'hommes sera connu, de même que celui des rangs: dans tous les cas il formera toûjours un rectangle beaucoup plus étendu sur une dimension que sur l'autre ». Essai sur la Castramétation, par M. le Blond.

Bataillon quarré (Page 2:136)

Bataillon quarré, est un bataillon dont les soldats sont arrangés de maniere que les rangs sont égaux aux files, en sorte que les quatre côtés qui le terminent contiennent le même nombre d'hommes. Voyez File.

Il y a deux sortes de bataillons quarrés; savoir, à centre plein, & à centre vuide.

Le bataillon quarré à centre plein, est celui dont les hommes sont placés tout de suite, ne laissant que l'intervalle ordinaire des rangs & des files.

Le bataillon quarré à centre vuide, est celui qui laisse dans son centre un espace vuide de soldats, & qui est assez considérable eu égard au terrein occupé par le bataillon.

Le bataillon quarré à centre plein est très - aisé à former. Ceux qui ont quelque connoissance de l'extraction de la racine quarrée, n'y peuvent pas être embarrassés; car extrayant la racine quarrée du nombre d'hommes dont le bataillon doit être composé, on trouve d'abord la quantité dont chaque côté doit être composé.

Ce bataillon est assez peu d'usage dans la Tactique moderne.

1°. Parce que le feu des ennemis, & principalement celui du canon, y peut faire un très - grand desordre.

2°. Parce que les soldats du centre ne peuvent presque pas se servir de leur feu contre l'ennemi. M. le chevalier de Folard est presque le seul qui en prescrive l'usage: sa colonne n'est autre chose que deux ou trois bataillons à centre plein placés sans intervalle les uns derriere les autres. V. Colonne.

Le bataillon à centre vuide présente, comme celui qui est à centre plein, des hommes de tous côtés. On prétend que le fameux Maurice de Nassau a été le premier qui ait trouvé l'usage de vuider le centre des bataillons.

Le bataillon à centre vuide n'a pas plus de difficulté dans sa formation que celui à centre plein: un exemple suffira pour en donner une idée.

Soit un nombre d'hommes quelconque, comme 1200, dont on veut faire un bataillon quarré à centre vuide, de maniere que le côté du quarré vuide, par exemple, ait douze hommes.

Il faut retrancher deux unités du nombre 12, parce que le côté du quarré vuide, s'il étoit rempli d'hommes, en contiendroit deux de moins que le dernier rang intérieur de la partie du quarré qui est remplie: ôtant donc 2 de 12, il reste 10 qu'il faut quarrer, & l'on aura 100, que l'on ajoûtera au nombre donné 1200. Ces deux nombres ajoûtés ensemble donneront 1300, dont on extraira la racine quarrée qu'on trouvera être 36; il restera quatre hommes qu'on pourra placer dans le centre du bataillon. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Reste . . . . . . Voyez Racine quarrée.

Présentement pour former le bataillon, je considere que s'il étoit plein, & qu'il fût de 1300, toutes les files & tous les rangs seroient de 36 hommes: mais il doit y avoir un vuide dans le milieu du bataillon de dix hommes; donc dans cet endroit les files n'auront que 26 hommes; c'est - à - dire, 36 moins 10: mais ces dix hommes doivent diminuer également les demi - files du milieu; elles n'auront donc chacune que 13 hommes; d'où il suit qu'il n'y aura dans cet exemple que 13 rangs de 36 hommes dans le bataillon, à commencer de la tête & de la queue du bataillon, & de la droite à la gauche. Arrangeant ainsi le bataillon, il restera le vuide demandé; & alors chaque côté du quarré intérieur sera de 12 hommes, c'est - à - dire, de deux hommes de plus à chaque côté que le côté 10 n'en a.

Pour la preuve il suffit de considérer qu'ayant ajoûté au nombre proposé, le nombre d'hommes qu'occuperoit l'espace qu'on veut laisser vuide dans le bataillon, on peut alors regarder le nombre proposé augmenté de ce dernier, comme le nombre d'hommes dont il faut extraire la racine quarrée; laquelle racine donnera le nombre des hommes, des rangs & des files d'un tel quarré. Or retranchant vers le milieu le nombre qu'on a ajoûté à chaque file, il restera, pour le bataillon disposé en quarré, le nombre d'hommes qui avoit d'abord été proposé: cela est évident.

On peut par cette même méthode, lorsqu'un nombre d'hommes est donné, en former un bataillon quarré qui paroisse d'un bien plus grand nombre d'hommes: car si l'on a, par exemple, 1200 hommes, dont on veuille former un bataillon quarré qui paroisse 3000, on extraira la racine quarrée de ce dernier nombre, laquelle sera trouvée de 54, avec un reste 84 qu'on peut négliger; ce nombre seroit celui des hommes de chaque rang, de chaque file d'un bataillon quarré à centre plein de 3000: mais comme on a ajoûté 1800 hommes au nombre donné 1200, il faut retrancher du dedans de l'intérieur du bataillon l'espace qu'occuperoient ces 1800 hommes. Pour cela il faut extraire la racine quarrée de 1800, laquelle est 42; c'est le nombre d'hommes qu'il faut retrancher des files du milieu du bataillon plein. Ces files sont de 54, desquelles ôtant 42, il reste 12, dont la moitié 6 est le nombre des rangs de la tête & de la queue du bataillon, de même que de ceux de la droite & de la gauche. Ainsi par cette formation les 1200 hommes donnés occuperont l'espace d'un bataillon à centre plein de 3000; & ils seront rangés sur six de hauteur ou de file sur chaque côté du bataillon. Traité de l'Arithmétique & de la Géométrie de l'officier par M. Leblond.

Bataillon rond (Page 2:136)

Bataillon rond, est celui dont les soldats sont rangés circulairement, en formant plusieurs circonférences concentriques.

Ce bataillon a été fort en usage parmi les Romains; c'est ce qu'ils appelloient in orbem: on en voit plusieurs exemples dans les commentaires de César. Feu M. le maréchal de Puysegur faisoit cas de ce bataillon.

Bataillon triangulaire (Page 2:136)

Bataillon triangulaire, est un corps de troupes disposé en triangle, & dont les rangs augmentant également, forment une progression arithmétique.

[p. 137]

Si le premier rang est un, & que les autres augmentent chacun d'une unité, le bataillon formera un triangle qui aura les trois côtés égaux; c'est - à - dire, qu'il sera équilatéral; autrement il formera un triangle quelconque.

Problème pour la formation du bataillon triangulaire équilatéral: un nombre d'hommes quelconque, par exemple, 400, étant donné pour en former un bataillon équilatéral, trouver le nombre des rangs dont il sera composé.

Comme dans ce bataillon le premier rang est 1, le second 2, le troisieme 3, &c. il s'ensuit que ce problème se réduit à trouver le nombre des termes d'une progression arithmétique dont le premier terme est 1, la différence aussi 1, & la somme 400. Voyez Progression arithmétique.

Solution. Soit le nombre des termes de la progression représenté par n, le dernier sera aussi n; car il sera l'unité prise autant de fois qu'il y a de termes.

Cela posé, la somme des extrèmes de la progression sera 1 + n, laquelle multipliée par le nombre des termes n, donnera n + n n, ou n n + n, pour le double de la somme de la progression; c'est - à - dire, que cette expression n n + n, sera égale à deux fois 400, ou à 800. Or n n est le quarré du nombre des termes de la progression, n en est la racine: donc 800 contient le quarré du nombre des termes de la progression, plus la racine de ce quarré.

Il suit delà que pour avoir la valeur de n, ou le nombre des termes de la progression, il faut extraire la racine quarrée de 800, de maniere qu'il y ait un reste égal à la racine, ou qui la contienne.

Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16: mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8.

Et achevant l'opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Pour le prouver, il faut chercher quelle est la somme de la progression dont le premier terme est 1, le second 2, & le nombre des termes 27.

Puisque le nombre des termes est 27; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu'il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu'on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé.

[omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Il suit de la résolution du problème précédent, que pour former des bataillons triangulaires équilatéraux, il faut queìque nombre de soldats, que l'on ait pour cet effet, le doubler, & ensuite en extraire la racine quarrée: mais de maniere qu'il y ait un reste égal à la racine, ou qui la contienne, & qu'alors cette racine sera le nombre des rangs du bataillon, dont tous les côtés seront égaux.

Si l'on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient: donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

On déterminera de la même maniere celui de tous les autres de la même espece que l'on pourra proposer.

Remarque. Si on suppose que la différence qui regne dans la progression est 2, c'est - à - dire, que le premier terme étant toûjours 1, le second est 3, le quatrieme est 5, &c. le dernier terme sera (n étant toûjours le nombre des termes) n - 1 multiplié par 2, plus 1, ou 2 n - 2 + 1; & ajoûtant à ce terme le premier 1, la somme des extremes sera 2 n - 2 + 1 + 1; expression qui se réduit à 2 n, dont la moitié étant multipliée par le nombre des termes, donnera le nombre de la progression n n. Ainsi nommant S la somme de la progression, on a n n = S, c'est - à - dire, le quarré du nombre des termes égal à la somme de la progression; & par conséquent n qui est la racine quarrée de n n, est égal à celle de S; en sorte que n = S.

D'où il suit que dans une progression arithmétique dont le premier terme est 1, & le second 3, le nombre des termes est égal à la racine quarrée de la somme des termes.

Ainsi, si l'on donne 400 hommes pour former un bataillon triangulaire, dont le premier rang est 1, & le second 3, ce qui est la seconde espece des bataillons triangulaires, on trouvera le nombre des rangs de ce bataillon, en extrayant la racine quarrée de 400. Or cette racine est 20, donc ce bataillon aura vingt rangs. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Pour le prouver, considérez que ce dernier rang sera 1 + 19 X 2 ou 39, & qu'en y ajoûtant 1, on aura 40 pour la somme des extrèmes, laquelle étant multipliée par 10, moitié du nombre des termes, donnera 400 pour la somme de la progression, c'est - à - dire, le nombre proposé.

Si l'on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C'est donc le nombre des termes de cette progression.

[omission: formula; to see, consult fac-similé version]

On le prouvera comme dans l'exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 X 22 = 45: ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des ex<pb->

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