ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS
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Logarithmique spirale
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Logarithmique spirale, ou spirale logarithmique, est une courbe dont voici la construction.
Divisez un quart de cercle en un nombre quelconque
de parties égales, aux points N, n, n, &c.
(Pl. d'anal. fig. 22.) & retranchez des rayons C N,
C n, C n, des parties continuellement proportionnelles
C M, C m, C m, les points M, m, m, &c. formeront
la logarithmique spirale. Par conséquent les
arcs A N, A n, &c. sont les logarithmes des ordonnées
ou rayons C M, C m, &c. pris sur les rayons du
cercle, & en partant de son centre, qui dans cette
courbe peut être considéré comme pole. On peut
donc regarder la logarithmique spirale comme une logarithmique ordinaire dont l'axe a été roulé le long
d'un cercle A N, & dont les ordonnées ont été arrangées
de maniere qu'elles concourent au centre
C, & qu'elles se trouvent prises sur les rayons C N
prolongés.
Cette courbe a plusieurs propriétés singulieres découvertes
par M. Jacques Bernoulli son inventeur.
1°. Elle fait une infinité de tours autour de son centre
C, sans jamais y arriver; ce qu'il est facile de démontrer: car les rayons C M, C m, C m, &c. de
cette courbe forment une progression géométrique
dont aucun terme ne sauroit être zéro; & par conséquent
la distance de la spirale à son centre C, ne
peut jamais être zéro. 2°. Les angles C M m, C m m
des rayons C M, C m avec la courbe, sont par - tout
égaux. Car nommant C M, y, & N n, d x, on aura
[omission: formula; to see, consult fac-similé version], puisque les arcs A N sont les logarithmes
des y. Voyez ci - dessus Logarithmique. Or décrivant
du rayon C M un are que l'on nommera d z, on
aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en faisant A C = r; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version];
donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc l'angle C M m
est constant. 3°. La développée de cette courbe, ses
caustiques par réfraction & par réflexion, &c. sont
d'autres logarithmes spirales: c'est pour cette raison
que M. Jacques Bernoulli ordonna qu'on mît sur son
tombeau une logarithmique spirale avec cette inscription,
eadem mutata resurgo. Voyez l'analyse des
infiniment petits, par M. de l'Hôpital. Voyez aussi
Développée & Caustique. (O)
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