ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS
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LOGARITMIQUE
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LOGARITMIQUE, s. f. (Géométrie.) courbe qui
tire ce nom de ses propriétés & de ses usages dans
la construction des logarithmes & dans l'explication
de leur théorie.
Si l'on divise la ligne droite A X (Pl. d'Analyse,
fig. 37.) en un nombre égal de parties, & que par
les points A, P, p, de division, on tire des lignes
toutes paralleles entr'elles & continuellement proportionnelles,
les extrémités N, M, m, &c. de ces
dernieres lignes, formeront la ligne courbe appellée
logarithmique, de sorte que les abscisses A P, A p,
sont ici les logarithmes des ordonnées P M, p m,
&c. puisque ces abscisses sont en progression arithmétique
pendant que les ordonnés sont en progression
géométrique. Donc si AP = x, A p = u, P M
= y, p m = z, & qu'on nomme l y & l z les logarithmes
de y & de z, on aura x = l y, u = l z, &
par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version].
Propriétés de la logarithmique. Dans une courbe
quelconque, si on nomme s la soutangente, on a <->
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Voyez Soutangente. Or dans la logarithmique, si on prend d x constant, c'est - à - dire
les abscisses en progression arithmétique, dont la
différence soit d x, les ordonnées seront en progression
géométrique, & par conséquent les différences
de ces ordonnées (voyez Progression géométrique) seront entr'elles comme les ordonnées;
donc > sera constant, d'où > sera constant; donc
puisque (hyp.) d x est constant, s le sera aussi;
donc la soutangente de la logarithmique est constante;
j'appelle cette soutangente a.
2°. Si on fait a = 1, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; dont
l'intégrale est x = log. y; & si on suppose un nombre
c, tel que son logarithme, soit = 1, on aura
x log. c = log. y, & par conséquent log. cx = log. y
& y = cx. Voyez Logarithme. C'est - là ce qu'on
appelle repasser des logarithmes aux nombres, c'est - à - dire d'une équation logarithmique x = l y, à une
équation finie exponentielle y = cx. Voyez Exponentiel.
3°. Nous avons expliqué au mot Exponentiel
ce que signifie cette équation y = cx appliquée à la
logarithmique. En général, si dans une même logarithmique on prend quatre ordonnées qui soient en
proportion géométrique; l'abscisse renfermée entre
les deux premieres sera égale à l'abscisse renfermée
entre les deux autres, & le rapport de cette abscisse
à la soutangente sera le logarithme du rapport des
deux ordonnées. C'est une suite de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
qui donne [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en supposant que
y = b, lorsque x = 0.
4°. Si on prend pour l'unité dans la logarithmique
l'ordonnée qui est égale à la soutangente, on trouvera
que l'abscisse qui répond au nombre 10 (c'est - à - dire à l'ordonnée qui seroit égale à dix fois celle
qu'on a prise pour l'unité) on trouvera, dis - je, que
cette abscisse ou le logarithme de 10 est égal à
2, 30258509 (voyez Logarithme), c'est - à - dire
que cette abscisse est à la soutangente comme
230258509 est à 100000000; c'est sur ce fondement
que Képler avoit construit ses tables de logarithmes,
& pris 2, 3025850 pour le logarithme
de 10.
5°. Mais si on place autrement l'origne de la logarithmique, & de maniere que l'ordonnée 1 ne soit
plus égale à la soutangente, & que l'abscisse comprise
entre les ordonnées 1 & 10 soit égale à 1; ce
qui se peut toujours supposer, pusqu'on peut placer
l'origine des x où l'on voudra, alors le logarithme
de 10 sera 1, ou 1, 0000000, &c. & la soutangente
sera telle que l'on aura 2, 3025850 à l'unité,
comme 1,0000000 est à la valeur de la sou<pb->
[p. 634]
tangente, qui sera par conséquent dans ce cas - ci
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou 0, 43429488. C'est sur cette supposition
que sont calculés les logarithmes de Briggs,
qui sont ceux des tables ordinaires.
6°. Dans deux logarithmiques différentes, si on
prend des ordonnées proportionnelles, les abscisses
correspondantes seront entre elles comme les soutangentes.
C'est encore une suite de l'équation
[omission: formula; to see, consult fac-similé version].
7°. Si dans une même logarithmique on prend trois
ordonnées très - proches, les différences de ces ordonnées
seront entre elles à très - peu - près comme
les différences des abscisses. Car soient y, y', y", les
trois ordonnées, & d x, d x' les abscisses, on aura
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] à très - peu près; & de même [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
à très peu près. Donc puisque y & y' different
très - peu l'une de l'autre, on aura à très - peu près d x :
d x' :: y' - y : y" - y'.
8°. Comme une progression géométrique s'étend
à l'infini des deux côtés de son premier terme, il est
évident que la logarithmique s'étend à l'infini le long
de son axe A X au - dessus & au - dessous du point A.
Il est de plus évident que A X est l'asymptote de la
logarithmique. Voyez Asymptote. Car comme une
progression géométrique va toûjours en décroissant,
sans néanmoins arriver jamais à zéro, il s'ensuit que
l'ordonnée P m va toûjours en décroissant, sans jamais
être absolument nulle. Donc, &c.
Sur la quadrature de la logarithmique, voyez
Quadrature.
Logarithmique spirale
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Logarithmique spirale, ou spirale logarithmique, est une courbe dont voici la construction.
Divisez un quart de cercle en un nombre quelconque
de parties égales, aux points N, n, n, &c.
(Pl. d'anal. fig. 22.) & retranchez des rayons C N,
C n, C n, des parties continuellement proportionnelles
C M, C m, C m, les points M, m, m, &c. formeront
la logarithmique spirale. Par conséquent les
arcs A N, A n, &c. sont les logarithmes des ordonnées
ou rayons C M, C m, &c. pris sur les rayons du
cercle, & en partant de son centre, qui dans cette
courbe peut être considéré comme pole. On peut
donc regarder la logarithmique spirale comme une logarithmique ordinaire dont l'axe a été roulé le long
d'un cercle A N, & dont les ordonnées ont été arrangées
de maniere qu'elles concourent au centre
C, & qu'elles se trouvent prises sur les rayons C N
prolongés.
Cette courbe a plusieurs propriétés singulieres découvertes
par M. Jacques Bernoulli son inventeur.
1°. Elle fait une infinité de tours autour de son centre
C, sans jamais y arriver; ce qu'il est facile de démontrer: car les rayons C M, C m, C m, &c. de
cette courbe forment une progression géométrique
dont aucun terme ne sauroit être zéro; & par conséquent
la distance de la spirale à son centre C, ne
peut jamais être zéro. 2°. Les angles C M m, C m m
des rayons C M, C m avec la courbe, sont par - tout
égaux. Car nommant C M, y, & N n, d x, on aura
[omission: formula; to see, consult fac-similé version], puisque les arcs A N sont les logarithmes
des y. Voyez ci - dessus Logarithmique. Or décrivant
du rayon C M un are que l'on nommera d z, on
aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], en faisant A C = r; donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version];
donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc l'angle C M m
est constant. 3°. La développée de cette courbe, ses
caustiques par réfraction & par réflexion, &c. sont
d'autres logarithmes spirales: c'est pour cette raison
que M. Jacques Bernoulli ordonna qu'on mît sur son
tombeau une logarithmique spirale avec cette inscription,
eadem mutata resurgo. Voyez l'analyse des
infiniment petits, par M. de l'Hôpital. Voyez aussi
Développée & Caustique. (O)
Logarithmique
(Page 9:634)
Logarithmique, pris adjectivement, (Géom.)
se dit de ce qui a rapport aux logarithmes. Voyez Logarithme, Logistique.
C'est ainsi que nous disons l'Arithmétique logarithmique, pour dire le calcul des logarithmes, ou
le calcul par le moyen des tables des logarithmes.
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