ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
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Lieu géometrique (Page 9:497)

Lieu géometrique, signifie une ligne par laquelle se résout un problème géométrique. Voyez Problème & Geometrique.

Un lieu est une ligne dont chaque point peut également résoudre un problème indéterminé. S'il ne faut qu'une droite pour construire l'équation du probleme, le lieu s'appelle alors lieu à la ligne droite; s'il ne faut qu'un cercle, lieu au cercle; s'il ne faut qu'une parabole, lieu à la parabole; s'il ne faut qu'une ellipse, lieu à l'ellipse, & ainsi des autres, &c.

Les anciens nommoient lieux plans, les lieux des équations qui se reduisent à des droites ou à des cercles; & lieux solides ceux qui sont ou des paraboles, ou des hyperboles, ou des ellipses.

M. Wolf donne une autre définition des lieux, & il les range en différens ordres, selon le nombre de dimensions auxquelles la quantité indéterminée s'éleve dans l'équation. Ainsi ce sera un lieu du premier ordre, si l'équation est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; un lieu du second ordre, si c'est y2 = a x, ou y2 = a2 - x2, &c. un lieu du troisieme, si on a pour équation y3 = a2 x, ou y3 = a x2 - x3... &c.

Pour mieux concevoir la nature des lieux géométriques, supposons deux droites inconnues & variables A P, P M (Pl. d'analyse, fig. 29, 30), qui fassent entre elles un angle donné quelconque. A P M, dont nous nommerons l'une, par exemple A P, qui a son origine fixe en A, & qui s'etend indéfiniment dans une direction donnée, x, & l'autre P M, qui change contmuellement de position & de grandeur, mais qui reste toujours parallele à elle - même, y. Supposons de plus une équation qui ne contrenne d'inconnues que ces deux quantités x, y, mêlées avec des quantités connues, & qui exprime le rapport de la variable A P, x, à la valeur de P M, ou de l'y correspondante; enfin imaginons qu'a l'extrémité de chaque valeur possible de x, on ait tracé en effet l'y correspondante que cette équation détermine; la ligne droite ou courbe qui passera par les extrémités de toutes les y ainsi tracées, ou par tous les points M, sera nommée en général lieu géométrique, & lieu de l'équation proposée en particulier.

Toutes les équations dont les lieux sont du premier ordre peuvent se réduire à quelqu'une des quatre formules suivantes: 1°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 2°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 3°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: 4°. [omission: formula; to see, consult fac-similé version], dans lesquelles la quantité inconnue y est supposée toûjours avoir été délivrée de fractions, la traction qui multiplie l'autre inconnue x est supposée réduite à cette expression ; & tous les autres termes sont comme censés réduits à celui + c. Le lieu de la premiere formule est d'abord déterminé, puisqu'il est évident que c'est une droite qui coupe l'axe dans son origine A, & qui fait avec lui un angle tel que les deux inconnues x, y soient toûjours entre elles comme a est à b. Or supposant ce premier lieu connu, il faudra pour trouver celui de la seconde formule [omission: formula; to see, consult fac-similé version], prendre d'abord sur la ligne A P (fig. 31.), une partie A B = a, & tirer B E = b & A D = c paralleles à P M. Vous tirerez ensuite du même côté que A P & vers E la ligne A E d'une longueur indéfinie, & la ligne droite & indéfinie D M parallele à A E; je dis que la ligne D M est le lieu de l'équation, ou la formule que nous voulions construire. Car si par un point quelconque M de cette ligne, on tire M P parallele à A Q, les triangles A B E, A P F, seront semblables; ce qui donnera A B, a, B E, b :: AP, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Si on fait c = o, c'est à - dire si les points D A tombent l'un sur l'autre, & D M sur A F, la ligne A F sera alors le lieu de l'équation [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Pour trouver le lieu de la troisicme formule, il faudra s'y prendre de cette sorte: vous ferez A B = a (fig. 32.) & vous tirerez les droites B E = b, A D = c paralleles à P M, l'une de l'un des côtés de A P, & l'autre de l'autre côté: par les points A, E, vous tirerez la droite A E, que vous prolongerez indésiniment vers E, & par le point D la ligne D M, parallele à A E, je dis que la droite indéfinie G M sera le lieu cherché. Car nous aurons toûjours P M (y) = P F, [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Enfin pour trouver le lieu de la quatrieme formule, sur A P (fig. 33.), vous prendrez A B = a, & vous tirerez B E = b, & A D = c, l'une d'un des côtés de A P, & l'autre de l'autre côté. De plus, par les points A, E, vous tirerez A E, que vous prolongerez indéfiniment vers E, & par le point D la ligne D M parallele à A E, je dis que D G sera le lieu cherché. Car si par un de ses points quelconques M on tire la ligne M P parallele à A Q, on aura toûjours [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Il s'ensuit de là qu'il n'y a de lieu du premier degré que les seules lignes droites; ce qui peut se voir facilement, puisque toutes les équations possibles du premier degré se réduisent à l'une des formules précédentes.

Tous les lieux du second degré ne peuvent être que des sections coniques, savoir la parabole, l'ellipse ou le cercle, qui est une espece d'ellipse, & l'hyperbole, qui dans certains cas devient équilatere: si on suppose donc donnée une équation indéterminée, dont le lieu soit du second degré, & qu'on demande de décrire la section conique qui en est le lieu; il faudra commencer par considérer une parabole, une ellipse & une hyperbole quelconque, en la rapportant à des droites ou des coordonnées, telles que l'équation qui en exprimera la nature, se trouve être par là la plus composée & la plus générale qu'il soit possible. Ces équations les plus générales, ou ces formules des trois sections coniques & de leurs subdivisions étant découvertes, & en ayant examiné les caracteres, il sera aisé de conclure à laquelle d'entr'elles se rapportera l'équation proposée, c'est - à dire quelle section conique cette même équation aura pour lieu. Il ne s'agira plus après cela que de comparer tous les termes de l'équation proposée avec ceux de l'équation générale du lieu, auquel on aura trouvé que cette équation se rapporte, cela déterminera les coefficiens de cette équation générale, ou ce qui est la même chose, les droites qui doivent être données de proportion & de grandeur pour décrire le lieu; & ces coefficiens ou ces droites étant une fois déterminées, on décrira facilement le lieu, par les moyens que les traités des sections coniques fournissent.

Par exemple que A P, x, P M, y soient deux droites inconnues & variables (fig. 34); & que m, p, r, s, soient des droites données; sur la ligne A P, prenez la portion A B = m, & tirez B E = n, A D = r; & par le point A, tirez A E = e, & par le point D, la ligne indéfinie D G parallelle à A E; [p. 498] sur D G, prenez D C = s, & prenant C G pour diametre, les ordonnées paralleles a P M, & la ligne C H = p pour parametre, décrivez la parabole C M, & elle sera le lieu de la formule générale suivante.

[omission: formula; to see, consult fac-similé version] car si d'un de ses points quelconques M on tire l'ordonnée P M, les triangles A B E, A P F, seront semblables, & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Mais par la nature de la parabole [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & cette derniere équation deviendra la formule générale elle - même, si on y substitue à la place des droites qui sont employées, leurs valeurs marquées ci - dessus.

Cette équation est la plus générale qui puisse appartenir à la parabole, puisqu'elle renferme 1°. le quarré de chacune des inconnues x, y; 2°. le produit x y de l'une par l'autre; 3°. les inconnues linéaires x, y, & un terme tout constant. Une équation du second degré, ou les indéterminées x, y, se trouvent mêlées, ne sauroit contenir un plus grand nombre de termes.

Par le point fixe A, tirez la droite indéfinie A Q, (fig. 35) parallele à P M; prenez A B = m, tirez B E = n parallele à A P, & par les points déterminés A E, la droite A E = e; sur A P, prenez A D = r, tirez la droite indéfinie D G, parallele à A E, & prenez la portion D C = s. Enfin prenant pour diametre C G, & supposant les ordonnées paralleles à A P, & pour parametre la ligne C H = p, décrivez une parabole C M; cette parabole seroit le lieu de cette seconde équation ou formule. [omission: formula; to see, consult fac-similé version] car si d'un point quelconque M on tire la droite M Q parallele à A P, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & ainsi par la propriété de la parabole, vous trouverez encore la seconde des équations générales ou des formules précédentes; & vous vous y prendrez de la même sorte, pour trouver les équations générales ou les formules des autres sections coniques.

Si on demande maintenant de décrire la parabole qui doit être le lieu de l'équation suivante, que nous supposerons donnée y y - 2 a y - b x + c c = o, comme y y se trouve ici sans fraction, de même que dans notre premiere formule, il vaudra mieux comparer la proposée avec cette premiere formule qu'avec l'autre; & d'abord puisque le rectangle x y ne se trouve point dans la proposée, ou qu'il peut y être censé multiplié par o, nous en conclurons que la fraction doit être = o, & par conséquent aussi qu'on doit avoir n, ou B E = o; de sorte que les points B, E, doivent être co - incidens, ou que la droite A E doit tomber sur A B & lui être égale, c'est - à - dire que m = e: détruisant donc dans la formule tous les termes affectés de ou de n, & substituant par - tout m à la place de e, elle se changera en y y - 2 r y - p x + r r + p s = o, & comparant encore les termes correspondans - 2 r y, & - 2 ay, - p x & - b x, enfin r r + p s, & c c, nous aurons r = a, p = b, & en substituant ces valeurs dans la derniere équation de comparaison, a a + b s = c c, ou bien [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui par conséquent sera une quantité négative, si a est plus grand que c, comme nous le supposons ici. Il ne serviroit de rien de comparer les deux premiers termes, parce qu'étant les mêmes des deux côtés, savoir y y, cette comparaison ne pourroit rien faire découvrir.

Or les valeurs de m, n, r, p, s, ayant été ainsi trouvées, on construira facilement le lieu cherché par les moyens qui nous ont servi à la construction de la formule & de la maniere suivante, comme B E (n) est = o (fig. 36.) & que les points B, E, coincident, ou que A E tombe sur A P, il faudra par cette raison tirer du point A la droite A D (r) parallele à P M & = a, & la droite D G parallele à A P, dans laquelle vous marquerez la droite D C [omission: formula; to see, consult fac-similé version], laquelle doit être prise au - delà de l'origine, dans un sens opposé à D G ou A P, parce que la fraction est négative par la supposition. Ensuite regardant D C comme diametre, prenant des ordonnées paralleles à P M, & la droite C H (p) = b pour parametre; vous décrirez une parabole, je dis qu'elle sera le lieu de l'équation donnée, & il est en esset aisé de le prouver. Si c'eût été le quarré x x qui se fût trouvé tout - d'un - coup sans fraction dans la proposée, il auroit été alors plus naturel de se servir de la seconde formule. On voit au reste qu'au moyen d'une division fort facile, on peut délivrer des fractions tel des deux quarrés qu'on voudra; & il faudroit commencer par cette division, si l'on voyoit que la comparaison des termes en dût devenir plus simple.

Voilà une idée de la méthode de construire les lieux des équations lorsqu'ils doivent être des sections coniques, ou ce qui est la même chose, lorsque les équations ne passent pas le second degré: car on doit sentir que les lieux à l'ellipse & à l'hyperbole, doivent se déterminer par une méthode semblable.

Mais une pareille équation étant donnée, aulieu de demander comme tout - à - l'heure, d'en construire le lieu, si on se contente de demander quelle doit être l'espece de la section conique qui en est le lieu, si c'est une parabole, une ellipse ou même un cercle, un hyperbole équilatere, ou non équilatere, il faudroit pour en juger commencer par faire passer d'un même côté tous les termes de l'équation, de façon qu'il restât zero de l'autre côté; & cela étant fait, il pourroit se présenter deux cas différens.

Premier cas; supposons que le rectangle x y, ne se trouve point dans l'équation; alors 1°. s'il n'y a qu'un des deux quarrés y y, ou x x, le lieu sera une parabole. 2°. Si les deux quarrés s'y trouvent tout - à - la - fois & avec le même signe, le lieu sera une ellipse, & en particulier un cercle, lorsque ni l'un ni l'autre des deux quarrés n'aura de coefsicient, ou (si on n'avoit point réduit l'un d'eux à n'en point avoir), lorsqu'ils auront les mêmes coefficiens, & que de plus l'angle des coordonnées sera droit. 3°. si les deux quarrés x x, & y y se trouvent dans l'équation, & avec des signes différens, le lieu sera une hyperbole [p. 499] laquelle deviendra équilatere dans les mêmes suppositions, qui font de l'ellipse un cercle.

Second cas; quand le rectangle x y se trouve dans l'équation, alors 1°. si il ne s'y trouve aucun des deux quarrés, qu'il ne s'y en trouve qu'un, ou encore qu'ils s'y trouvent tous deux avec différens signes, ou enfin que s'y trouvant tous deux avec les mêmes signes, le quarré du coefficient qui multiplie x y, soit plus grand que le quadruple du rectangle des coefficiens de x x & y y, dans toutes ces suppositions le lieu sera une hyperbole. 2°. Si ces deux quarrés s'y trouvant toujours, & étant de même signe; si le quarré du coefficient xy, est plus petit que le quadruple du rectangle des coefficiens de x x & yy, le lieu sera alors une ellipse. 3°. Enfin, si dans la même supposition ce quarré & le quadruple du rectangle dont nous venons de parler, sont égaux entre eux, le lieu sera alors une parabole.

Cette méthode de construire les lieux géometriques, en les rapportant aux équations les plus composées qu'il soit possible, est dûe à M. Craig, auteur anglois, qui l'a publiée le premier dans son traité de la quadrature des courbes, en 1693. Elle est expliquée fort au long dans le septieme & le huitieme livre des sections coniques de M. le Marquis de l'Hôpital, qui sans doute en auroit fait honneur au géometre anglois, s'il eût eu le tems de mettre la derniere main à son ouvrage.

M. Guisnée, dans son application de l'Algebre à la Géométrie, donne une autre méthode pour construire les lieux géométriques. Elle est plus commode à certains égards que la précédente, en ce qu'elle apprend à construire tout d'un coup & immédiatement une équation donnée, sans la rapporter à une équation plus générale; mais d'un autre côté elle demande aussi dans la pratique plus de précaution pour ne se point tromper.

Nous ne devons pas oublier de dire que M. l'abbé de Gua, dans les usages de l'analyse de Descartes, pag. 342, remarque une espece de faute qu'on pourroit reprocher aux auteurs qui ont écrit jusqu'ici sur la construction des lieux géométriques, & fait voir cependant que cette faute n'a point dû tirer à conséquence dans les regles ou les méthodes que ces auteurs ont données.

Cette faute, qu'il seroit trop long de détailler ici, consiste en général en ce que ces aureurs n'ont enseigné à réduire à l'hyperbole entre ses asymptotes, que les lieux où il manque un des quarrés x, y. On peut réduire à l'hyperbole entre ses asymptotes une équation même qui contiendroit ces deux quarrés, mais alors aucune des deux asymptotes ne seroit parallele à la ligne des x, ni à celle des y. Voyez Transformation des Axes; voyez aussi sur les lieux en général, & sur ceux aux sections coniques en particulier; les articles Courbe, Equation, Conique, Ellipse, Construction , &c. (O)

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