"851"> qu'on ne pouvoit se dispenser entierement de démontrer les converses; erreur qui leur est commune avec toutes les personnes qui, n'ayant pas naturellement l'esprit net, n'y ont pas un peu suppléé par l'étude de la philosophie.

Troisieme question. La même proposition a - t - elle plusieurs converses toutes aussi vraies qu'elle?

Je répondrai encore une fois en distinguant: le choix des qualités dont on veut composer l'hypothèse & la thèse étant une fois déterminé, il n'est plus possible de convertir la proposition de plus d'une maniere; mais, si l'on n'avoit encore déterminé que la qualité qui doit former la these de la directe, on pourroit varier de plusieurs manieres l'expression de cette directe, & par conséquent l'expression & le fond même de sa converse; savoir, en tirant du sujet pris selon l'acception commune, tantôt une qualité & tantôt une autre, pour en former ce que j'appelle l'hypothèse. A présent, si l'on me demande quelles regles doit suivre un auteur dans le choix de la qualité qu'il destine à former l'hypothèse de la directe; je répondrai en général, qu'il doit préférer celle qui devenue thèse à son tour, formera la converse la plus utile & la plus élégante. Mais voici une regle plus particuliere: quand on a une classe de théoremes, qui ne different qu'à un seul égard, on doit choisir pour hypothèse la qualité qui constitue cette difference, de sorte que le sujet soit absolument le même dans toutes ces propositions & dans toutes leurs converses. Outre l'uniformité qui résulte de l'observatio de cette maxime, ce qui offre plus de comme ité à l'attention & à la mémoire; on en retirera ennore l'avantage de pouvoir toujours, sans aucune étude, démontrer les converses de ces sortes de propositions, par une méthode générale qui sera expliquée plus bas. On aura un exemple de ce que je prescris, si dans celui que j'ai allégué à l'occasion de la premiere question, à la place des nombres trois & deux, dont l'un est dans l'hypothèse & l'autre dans la these, on met les nombres 4 & 4, ou 5 & 6, ou 6 & 8, ou 7 & 10, &c. ou genéralement a & 2 a - 4; ce qui fournira des tnéorèmes sur là somme des angles d'un quadrilatere, d'un pentagone, & généralement d'un polygone quelconque.

Quatrieme question. Convient - il de faire suivre chaque théoreme par une converse?

La symétrie le demanderoit: mais premierement, comme les Mathématiques s'étendent tous les jours, sans qu'il en arrive autant à la vie de ceux qui s'y appliquent; il faut, dans ce siecle sur - tout, sacrifier cet avantage à celui de la briéveté, quand on prévoit que ces converses n'auroient aucune utilité considérable: nous devons imiter la sage retenue d'Euclide, qui, quoiqu'il vécût dans un tems où l'objet des Mathématiques étoit mille fois moins vaste qu'à présent, a sû cependant se borner aux converses dont il avoit besoin pour démontrer ses principaux théorèmes, sans qu'on ait lieu de soupçonner un si grand génie d'avoir agi de la sorte par incapacité. En second lieu, on est bien forcé, sur - tout dans les Mathématiques mixtes, d'abandonner souvent le projet d'insérer certaines converses dans un traité, faute de pouvoir en donner la démonstration. Il est bien plus aisé de descendre des causes aux effets, que de remonter des effets aux causes. Le nombre des causes combinées dont on cherche le résultat, étant arbitraire, ce nombre est connu & aussi petit que l'on veut; au lieu que celui des effets devant être puisé dans la nature, sous peine de se perdre dans des conclusions chimériques; ce nombre nous est souvent inconnu par l'imperfection de nos sens, & même il est souvent trop considérable pour les forces de notre entendement: sans ces deux obstacles, rien n'empêcheroit que nous ne pussions acquérir sur les causes physiques des lumieres aussi certaines que celles dont nous jouissons à l'égard de la Géométrie pure; sçavoir, en employant la voie d'exclusion pour découvrir les converses en Physique, comme on le fait ordinairement en Géométrie pour les démontrer; mais comment mettre en usage cette méthode, quand on ne peut pas avoir des énumérations complettes, & que la rejection de chaque membre de cette énumération exige des calculs dont nous avons à peine les élémens? Ceci nous mene tout naturellement à la question suivante.

Cinquieme question. Quelle méthode doit - on mettre en usage pour la démonstration des converses?

On peut les démontrer d'une maniere qui n'ait aucun rapport avec celle qu'on aura employée pour leurs directes, lorsqu'on est assez heureux pour trouver sans efforts un moyen considérablement plus abrégé ou plus élégant que celui sur lequel on a fondé la certitude de ces directes; mais voici deux méthodes générales, dont peuvent faire usage ceux qui n'ont pas le génie ou le loisir nécessaire pour faire mieux; méthodes qui pourront plaïre d'ailleurs aux amateurs de l'uniformité, vu la relation qu'elles mettent entre les démonstrations des propositions converses l'une de l'autre.

Pour rendre la premiere méthode appliquable à un théoreme donné, il faut à ce théoreme en joindre un autre dont le sujet soit le même, mais dont l'hypothese & la thèse soient precisément l'opposé de celles de ce premier. Cette seconde directe étant démontrée, ce qui est ordinairement fort aisé à celui qui a déjà démontré la premiere, il faut démontrer la converse de cette premiere, en disant simplement que si elle n'avoit pas lieu, la seconde directe seroit fausse, & démontrer la converse de la seconde, en avertissant seulement que si elle n'étoit pas vraie, la premiere directe ne le seroit pas non plus. Quoique cette méthode soit fort connue, j'espere qu'on me pardonnera d'en rapporter ici la formule, en considération de la regle que j'ai donnée en répondant à la troisieme question, vu que cette regle en deviendra plus intelligible encore, ce qui arrivera aussi aux réflexions que je joindrai à la formule.

Premiere directe. Dans tout sujet qui a les qualités A, B, &c. si la quantite p est égale à la quantité q, la quantité r sera égale à la quantité s.

Seconde directe. Dans tout, &c. si p n'est pas égale à q, r ne sera pas égale à s.

Premiere converse. Dans tout, &c. si r est égale à s, p sera égale à q.

Démonstration. Si p & q étoient inégales, r & s le seroient aussi par la seconde directe; mais r & s sont supposées égales, donc p & q ne sauroient être inégales.

Seconde converse. Dans tout, &c. si r n'est pas égale à s, p ne sera pas égale à q.

Démonstr. Si p & q étoient égales, r & s le seroient aussi par la premiere directe; mais r & s sont supposées inégales, donc p & q ne sauroient être égales.

Pour éviter l'idée négative qu'offre l'inégalité prise abstraitement, & les raisonnemens négatifs qu'elle exige quelquefois, on la distribue souvent en deux cas, celui de majorité & celui de minorité; ce qui donne à la vérité trois directes & trois converses au lieu de deux: Si, dit - on, p=q, on aura r=s; si p > q, on aura r > s; & si p < q, on aura r < s, & réciproquement.

On peut même diviser l'inégalité d'une maniere plus déterminée encore, & en quelque façon plus positive, en lui substituant séparément différentes égalités, comme on peut s'en éclaircir par l'exemple des diverses valeurs de la somme des angles des divers polygones: cette méthode fournit un grand nombre de directes, quelquefois une infinité qu'on doit dé<pb-> [p. 852] montrer sur un même modele & d'une maniere précise; mais dont toutes les converses se démontrent dans un instant par l'idée indéterminée d'inégalité: c'est ainsi qu'Euclide auroit sans doute démontré en un seul mot la converse du théorème favori de Pythagore en la plaçant après les propositions 12e & 13e du second livre, dont il auroit pu aussi démontrer les converses en même tems dans un trait de plume, s'il n'avoit pas imaginé cette autre démonstration plus directe & plus indépendante, par laquelle il termine son premier.

Par rapport à la seconde méthode que j'ai annoncée, elle consisteroit à donner, dès le commencement du traité, la converse de chaque axiome, & à démontrer ensuite la converse de chaque théorème par la même chaîne de conséquences qu'on auroit employées pour démontrer le théorème direct, en substituant à chaque conséquence sa converse, & en y faisant des converses précédentes le même usage qu'on vient de faire de leurs directes pour démontrer la derniere directe. C'est encore ainsi qu'Euclide auroit pu démontrer cette même 48e proposition dont nous venons de parler, en citant la 13e propoposition & un corollaire de la 38e, au lieu de la 14e & de la 41e, auxquelles il avoit renvoyé dans la démonstration de la 47e.

Si je n'ai point fait mention dans tout ceci des converses des problèmes, c'est que j'ai présumé qu'on préfereroit une seule regle générale, quoique plus embarassante dans l'exécution, à l'ennui de lire autant de remarques particulieres sur les problèmes, que j'en ai déjà fait sur les théorèmes. Cette regle est aisée à imaginer & à retenir; réduisez le problème que vous avez en main sous la forme du théorème, appliquez - lui alors les préceptes que nous avons donnés sur ceux - ci, tant pour les convertir que pour en démontrer les converses, & présentez enfin ces converses sous la forme de problemes. Cet article est de M. le Sage fils, citoy en de Genève, dont il a déjà été parlé au mot Gravité.

INVERSE (Page 8:852)

INVERSE, adj. (Algebre & Arithm.) on applique ce mot à une certaine maniere de faire la regle de trois ou de proportion, qui semble être renversée, ou contraire à l'ordre de la regle de trois directe. Voyez Regle.

Dans la regle de trois directe, les termes étant rangés suivant leur ordre naturel, le premier terme est au second, comme le troisieme est au quatrieme, c'est - à - dire, que si le second est plus grand ou plus petit que le premier, le quatrieme est aussi plus grand ou plus petit que le troisieme dans la même proportion. Mais dans la regle inverse, le quatrieme terme est autant au - dessus du troisieme, que le second est au - dessous du premier. Exemple. On dit dans la regle de trois directe: si trois toises de bâtiment coutent vingt livres, combien en couteront six, c'est - à - dire, 3 : 20 : : 6 : x? on trouvera quarante livres; mais dans l'inverse, on dit: si vingt ouvriers font dix toises de bâtiment en quatre jours, en combien de tems quarante les feront - ils, c'est - à - dire, 20 : 40 : : x : 4? on trouvera en deux jours. Voyez Regle de trois. Chambers. (E)

Méthode inverse des Fluxions, est ce qu'on appelle plus communément calcul intégral. Voyez Intégral.

Raison & proportion inverse. Voyez Raison & Proportion.

INVERSION (Page 8:852)

INVERSION, s. f. terme de Grammaire qui signifie renversement d'ordre: ainsi toute inversion suppose un ordre primitif & fondamental; & nul arrangement ne peut être appellé inversion que par rapport à cet ordre primitif.

Il n'y avoit eu jusqu'ici qu'un langage sur l'inversion; on croyoit s'entendre, & l'on s'entendoit en effet. De nos jours, M. l'abbé Batteux s'est élevé contre le sentiment universel, & a mis en avant une opinion, qui est exactement le contrepié de l'opinion commune: il donne pour ordre fondamental un autre ordre que celui qu'on avoit toujours regardé comme la regle originelle de toutes les langues: il déclare directement ordonnées des phrases où tout le monde croyoit voir l'inversion; & il la voit, lui, dans les tours que l'on avoit jugés les plus conformes à l'ordre primitif.

La discussion de cette nouvelle doctrine devient d'autant plus importante, qu'elle se trouve aujourd'hui étayée par les suffrages de deux écrivains qui en tirent des conséquences pratiques relatives à l'étude des langues. Je parle de M. Pluche & de M. Chompré, qui fondent sur cette base leur système d'enseignement, l'un dans sa Méchanique des langues, & l'autre dans son Introduction à la langue latine par la voie de la traduction.

L'unanimité des Grammairiens en faveur de l'opinion ancienne, nonobstant la diversité des tems, des idiomes & des vues qui ont du en dépendre, forme d'abord contre la nouvelle opinion, un préjugé d'autant plus fort, que l'intimité connue des trois auteurs qui la défendent, réduit à l'unité le témoignage qu'ils lui rendent: mais il ne s'agit point ici de compter les voix, sans peser les raisons; il fant remonter à l'origine même de la question, & employer la critique la plus exacte qu'il sera possible, pour reconnoître l'ordre primitif qui doit véritablement servir comme de boussole aux procédés grammaticaux des langues. C'est apparemment le plus sûr & même l'unique moyen de déterminer en quoi consistent les inversions, quelles sont les langues qui en admettent le plus, quels effets elles y produisent, & quelles conséquences il en faut tirer par rapport à la maniere d'étudier ou d'enseigner les langues.

Il y a dans chacune une marche fixée par l'usage; & cette marche est le résultat de la diversité des vues que la construction usuelle doit combiner & concilier. Elle doit s'attacher à la succession analytique des idées, se prêter à la succession pathétique des objets qui intéressent l'ame, & ne pas negliger la succession euphonique des sons les plus propres à flatter l'oreille. Voilà donc trois differens ordres que la parole doit suivre tout à la fois, s'il est possible, & qu'elle doit sacrifier l'un à l'autre avec intelligence, lorsqu'ils se trouvent en contradiction; mais par rapport à la Grammaire, dont on prétend ici apprécier un terme, quel est celui de ces trois ordres qui lui sert de guide, si elle n'est soumise qu'à l'influence de l'un des trois? Et si elle est sujette à l'influence des trois, quel est pour elle le principal, celui qu'elle doit suivre le plus scrupuleusement, & qu'elle doit perdre de vue le moins qu'il est possible? C'est à quoi se réduit, si je ne me trompe, l'état de la question qu'il s'agit de discuter: celui de ces ordres qui est, pour ainsi dire, le législateur exclusif ou du moins le législateur principal en Grammaire, est en même tems celui auquel se rapporte l'inversion qui en est le renversement.

La parole est destinée à produire trois effets qui devroient toujours aller ensemble: 1. instruire, 2. plaire, 3. toucher. Tria sunt efficienda, 1. ut doceatur is apud quem dicetur, 2. ut delectetur, 3. ut moveatur. Cic. in Bruto, sive de claris Orat. c. lxix. Le premier de ces trois points est le principal; il est la base des deux autres, puisque sans celui - là, ceux - ci ne peuvent avoir lieu. Car ici par instruire, docere, Ciceron n'entend pas éclaircir une question, exposer un fait, discuter quelque point de doctrine, &c. Il entend seulement énoncer une pensée, faire connoítre ce qu'on a dans l'esprit, former un sens par des mots. On parle pour être entendu; c'est le premier but de la parole;

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