"674"> celle de la divinité, & n'e est presque pas différente.

La science des nombres passa de l'Egypte dans la Grece, d'où après avoir reçû de nouveaux degrès de perfection par les Astronomes de ce pays, elle fut connue des Romains, & de - là est enfin venue jusqu'à nous.

Cependant l'ancienne Arithmétique n'étoit pas, à beaucoup près, aussi parfaite que la moderne: Il paroît qu'alors elle ne servoit guere qu'à considérer les différentes divisions des nombres: on peut s'en convaincre en lisant les traités de Nicomaque, écrits ou composés dans le troisieme siecle depuis la fondation de Rome, & celui de Boëce, qui existent encore aujourd'hui. En 1556, Xylander publia en Latin un abregé de l'ancienne Arithmétique, écrite en Grec par Psellus. Jordanus composa ou publia, dans le douzieme siecle, un ouvrage beaucoup plus ample de la même espece, que Faber Stapulensis donna en 1480, avec un commentaire.

L'Arithmétique, telle qu'elle est aujourd'hui, se divise en différentes especes, comme théorique, pratique, instrumentale, logarithmique, numérale, spécieuse, decimale, tétractique, duodécimale, sexagésimale, &c.

L'Arithmétique théorique est la science des propriétés & des rapports des nombres abstraits, avec les raisons & les démonstrations des différentes regles. Voyez Nombre.

On trouve une Arithmétique théorique dans les septieme, huitieme & neuvieme livres d'Euclide. Le moine Barlaam a aussi donné une théorie des opérations ordinaires, tant en entiers qu'en fractions, dans un livre de sa composition intitulé Logistica, & publié en Latin par Jean Chambers, Anglois, l'an 1600. On peut y ajoûter l'ouvrage Italien de Lucas de Burgo, mis au jour en 1523: cet auteur y a donné les différentes divisions de nombres de Nicomaque & leurs propriétes, conformément à la doctrine d'Euclide, avec le calcul des entiers & des fractions, des extractions de racines, &c.

L'Arithmétique pratique est l'art de nombrer ou de calculer, c'est - à - dire, l'art de trouver des nombres par le moyen de certains nombres donnés, dont la relation aux premiers est connue; comme si l'on demandoit, par exemple, de déterminer ie nombre égal aux deux nombres donnés, 6, 8.

Le premier corps complet d'Arithmétique pratique nous a été donné en 1556, par Tartaglia, Vénitien: il consiste en deux livres; le premier contient l'application de l'Arithmétique aux usages de la vie civile; & le second, les fondemens ou les principes de l'Algebre. Avant Tartaglia, Stifelius avoit donné quelque chose sur cette matiere en 1544: on y trouve différentes méthodes & remarques sur les irrationels, &c.

Nous supprimons une infinité d'autres auteurs de pure pratique, qui sont venus depuis, tels que Gemma Frisius, Metius, Clavius, Ramus, &c.

Maurolicus, dans ses Opuscula mathematica de l'annee 1575, a joint la théorie à la pratique de l'Arithmétique; il l'a même perfectionnée à plusieurs égards: Heneschius a fait la même chose dans son Arithmetica perfecta de l'année 1609, où il a réduit toutes les démonstrations en forme de syllogisme; ainsi que Taquet, dans sa theoria & praxis Arithmetices de l'année 1704. (E)

Les ouvrages sur l'Arithmétique sont si communs parmi nous, qu'il seroit inutile d'en faire le dénombrement. Les regles principales de cette science sont exposées fort clairement dans le premier volume du cours de Mathématique de M. Camus, dans les institutions de Géométrie de M. de la Chapelle, dans l'Arithmétique de l'officier par M. le Blond. (O)

L'Arithmétique instrumentale est celle où les regles communes s'exécutent par le moyen d'instrumens imaginés pour calculer avec facilité & promptitude: comme les bâtons de Neper (Voyez Neper. ); l'instrument de M. Sam. Moreland, qui en a publié lui - même la description en 1666; celui de M. Leibnitz, décrit dans les Miscellan. Berolin. la machine arithmétique de M. Pascal, dont on donnera la description plus bas, &c.

L'Arithmétique logarithmique, qui s'exécute par les tables des logarithmes. Voyez Logarithme. Ce qu'il y a de meilleur là - dessus est l'Arithmetica logarithmica de Hen. Brigg, publiée en 1624.

On ne doit pas oublier les tables arithmétiques universelles de Prostapharese, publiées en 1610 par Herwart, moyennant lesquelles la multiplication se sait aisément & exactement par l'addition, & la division par la soustraction.

Les Chinois ne se servent guere de regles dans leurs calculs; au lieu de cela, ils font usage d'un instrument qui consiste en une petite lame longue d'un pié & demi, traversée de dix ou douze fils de fer, où sont enfilées de petites boules rondes: en les tirant ensemble, & les plaçant ensuite l'une après l'autre, suivant certaines conditions & conventions, ils calculent à peu pres comme nous faisons avec des jettons, mais avec tant de acilité & de promptitude, qu'ils peuvent suivre une personne qui lit un livre de compte, avec quelque rapidité qu'elle aille; & à la fin l'opération se trouve faite: ils ont aussi leurs méthodes de la prouver. Voyez le P. le Comte. Les Indiens calculent a peu pres de même avec des cordes chargées de noeuds.

L'Arithmetique numérale est celle qui enseigne le calcul des nombres ou des quantités abstraites désignées par des chires: on en fait les opérations avec des chiffres ordinaires ou arabes. Voy. Caractere & Arabe.

L'Arithmétique specieuse est celle qui enseigne le calcul des quantites désignées par les lettres de l'alphabet. Voyez Spécieuse. Cette Arithmetique est ce que l'on appelle ordinairement l'Algebre, ou Arithmétique littérale. Voyez Algebre.

Wallis a joint le calcul numérique à l'algébrique, & démontré par ce moyen les regles des fractions, des proportions, des extractions de racines, &c.

Wels en a donné un abregé sous le titre de Elementa arithmeticoe, en 1698.

L'Arithmétique décimale B'exécute par une suite de dix caracteres, de maniere que la progression va de dix en dix. Telle est notre Arithmétique, où nous faisons usage des dix caracteres Arabes, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: après quoi nous recommençons 10, 11, 12, &c.

Cette méthode de calculer n'est pas fort ancienne, elle étoit totalement inconnue aux Grecs & aux Romains: Gerbert, qui devint pape dans la suite, sous le nom de Silvestre II. l'introduisit en Europe, après l'avoir reçûe des Maures d'Espagne. Il est fort vraissemblable que cette progression a pris son origine des dix doigts des mains, dont on faisoit usage dans les calculs avant que l'on eût réduit l'Arithmétique en art.

Les Missionaires de l'orient nous assûrent qu'aujourd'hui même les Indiens sont très - experts à calculer par leurs doigts, sans se servir de plume ni d'encre. Voyez les Lett. édif. & curieuses. Ajoûtez à cela que les naturels du Pérou, qui font tous leurs calculs par le different arrangement des grains de maïz, l'emportent beaucoup, tant par la justesse que par la célérité de leurs comptes, sur quelque Européen que ce soit avec toutes ses regles.

L'Arithmétique binaire est celle où l'on n'employe uniquement que deux figures, l'unité ou 1 & le 0. Voyez Binaire. [p. 675]

M. Dangicourt nous a donné, dans les Miscell. Berol. t. I. un long mémoire fur cette Arithmétique binaire: il y fait voir qu'il est plus aisé de découvrir par ce moyen les lois des progressions, qu'en se servant de toute autre méthode où l'on feroit usage d'un plus grand nombre de caracteres.

L'Arithmétique tétractique est celle où l'on n'emploie que les figures 1, 2, 3, & o. Erhard Weigel nous a donné un traité de cette Arithmétique: mais la binaire & la tétractique ne sont guere que de curiosité, relativement à la pratique, puisque l'on peut exprimer les nombres d'une maniere beaucoup plus abregée par l'Arithmétique décimale.

L'Arithmétique vulgaire roule sur les entiers & les fractions. Voyez Entier & Fraction.

L'Arithmétique sexagésimale est celle qui procede par soixantaines, ou bien c'est la doctrine des fractions sexagesimales. Voyez Sexagésimal. Sam. Reyher a inventé une epece de baguettes sexagénales, à l'imitation des bâtons de Neper, par le moyen desquelles on fait avec facilité toutes les opérations de l'Arithmétique sexagésimale.

L'Arithmétique des infinis est la méthode de trouver la somme d'une suite de nombres dont les termes sont infinis, ou d'en déterminer les rapports. Voyez Infini, Suite ou Serie, &c.

M. Wallis est le premier qui ait traité à fond de cette méthode, ainsi qu'il paroît par ses Opera mathematica, où il en fait voir l'usage en Géométrie, pour déterminer l'aire des surfaces & la solidité des corps, ainsi que leurs rapports: mais la méthode des fluxions, qui est l'Arithmétique universelle des infinis, exécute tout cela d'une maniere beaucoup plus prompte & plus commode, indépendamment d'une infinité d'autres choses auxquelles la premiere ne sauroit atteindre. Voyez Fluxions, Calcul, &c.

Sur l'Arithmétique des incommensurables ou irrationels, V. Incommensurable, Irrationel, &c.

Jean de Sacrobosco ou Halifax composa en 1232, selon Wossius, un traité d'Arithmétique: mais ce traité a toûjours resté manuscrit; & selon M. l'abbé de Gua, Paciolo qui a donné le premier livre d'Algebre, est aussi le premier auteur d'Arithmétique qui ait été imprimé. Voyez Algebre. (E)

Jusqu'ici nous nous sommes contentés d'exposer en abregé ce que l'on trouve à peu - près dans la plûpart des ouvrages mathématiques sur la science des nombres, & nous n'avons guere fait que traduire l'article Arithmétique tel qu'il se trouve dans l'Encyclopédie Angloise; tâchons presentement d'entier davantage dans les principes de cette Science, & d'en donner une idée plus précise.

Nous remarquerons d'abord que tout nombre, suivant la définition de M. Newton, n'est proprement qu'un rapport. Pour entendre ceci, il faut remarquer que toute grandeur qu'on compare à une autre, est ou plus petite, ou plus grande, ou égale; qu'ainsi toute grandeur a un certain rapport avec une autre à laquelle on la compare, c'est - à - dire qu'elle y est contenue ou la contient d'une certaine maniere; ce rapport ou cette maniere de contenir ou d'être contenu, est ce qu'on appelle nombre. Ainsi le nombre 3 exprime le rapport d'une grandeur à une autre plus petite, que l'on prend pour l'unité, & que la plus grande contient trois fois. Au contraire la fraction 1/3 exprime le rapport d'une certaine grandeur à une plus grande que l'on prend pour l'unité, & qui est contenue trois fors dans cette plus grande. Tout cela sera exposé plus en détail aux articles Nombre, Fraction, &c.

Les nombres étant des rapports apperçûs par l'esprit, & distingués par des signes particuliers, l'Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l'art de combiner entr'eux ces rapports, en se servant pour faire cette combinaison des signes mêmes qui les distinguent. De - là les quatre principales regles de l'Arithmétique; car les différentes combinaisons qu'on peut faire des rapports, se réduisent ou à examiner l'excès des uns sur les autres, ou la maniere dont ils se contiennent: l'addition & la soustraction ont le premier objet, puisqu'il ne s'agit que d'y ajoûter ou d'y soustraire des rapports; le second objet est celui de la multiplication & de la division, puisqu'on y détermine de quelle maniere un rapport en contient un autre. Tout cela sera expliqué plus en détail aux articles Multiplication & Division.

Il y a, comme l'on sait, deux sortes de rapports, l'arithmétique & le géométrique. V. Rapport. Les nombres ne sont proprement que des rapports géométriques: mais il semble que dans les deux premieres regles de l'Arithmétique on considere arithmétiquement ces rapports, & que dans les deux autres on les considere géométriquement. Dans l'addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres), l'un des deux nombres représente l'excès de la somme sur l'autre nombre. Dans la multiplication l'un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l'autre nombre. Voyez Somme, Produit.

A l'égard du détail des opérations particulieres de l'Arithmétique, il dépend de la forme & de l'institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n'a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins; & les Romains qui avoient des chiffres différens de ceux dont nous nous servons, devoient aussi avoir des regles d'Arithmétique toutes différentes des nôtres. Mais toute Arithmétique se réduira toûjours aux quatre regles dont nous parlons, parce que de quelque maniere qu'on désigne ou qu'on écrive les rapports, on ne peut jamais les combiner que de quatre façons, & même, à proprement parler, de deux manieres seulement, dont chacune peut être envisagée sous deux faces différentes.

On pourroit dire encore que toutes les regles de l'Arithmétique se réduisent, ou à former un tout par la réunion de différentes parties, comme dans l'addition & la multiplication, ou à résoudre un tout en différentes parties, ce qui s'exécute par la soustraction & la division. En effet, la multiplication n'est qu'une addition repétée, & la division n'est aussi qu'une soustraction repétée. D'où il s'ensuit encore que les regles primitives de l'Arithmétique peuvent, à la rigueur, se réduire à l'addition & à la soustraction: la multiplication & la division ne sont proprement que des manieres abregées de faire l'addition d'un même nombre plusieurs fois à lui - même, ou de soustraire plusieurs fois un même nombre d'un autre. Aussi M. Newton appelle - t - il les regles de l'Arithméque, compositio & resolutio arithmetica, c'est - à - dire, composition & résolution des nombres.

Arithmétique universelle (Page 1:675)

Arithmétique universelle; c'est ainsi que M. Newton appelle l'Algebre, ou calcul des grandeurs en général; & ce n'est pas sans raison que cette dénomination lui a été donnée par ce grand homme, dont le génie également lumineux & profond paroît avoir remonté dans toutes les sciences à leurs vrais principes metaphysiques. En effet, dans l'Arithmétique ordinaire, on peut remarquer deux especes de principes; les premiers sont des regles générales, indépendantes des signes particuliers par lesquelles on exprime les nombres; les autres sont des regles dépendantes de ces mêmes signes, & ce sont celles qu'on appelle plus particulierement regles de l'Arithmétique. Mais les premiers principes ne sont autre chose que des propriétés générales des rapports, qui ont lieu de quelque maniere que ces rapports soient désignés: telles sont par exemple ces

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