ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

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Arithmétique universelle (Page 1:675)

Arithmétique universelle; c'est ainsi que M. Newton appelle l'Algebre, ou calcul des grandeurs en général; & ce n'est pas sans raison que cette dénomination lui a été donnée par ce grand homme, dont le génie également lumineux & profond paroît avoir remonté dans toutes les sciences à leurs vrais principes metaphysiques. En effet, dans l'Arithmétique ordinaire, on peut remarquer deux especes de principes; les premiers sont des regles générales, indépendantes des signes particuliers par lesquelles on exprime les nombres; les autres sont des regles dépendantes de ces mêmes signes, & ce sont celles qu'on appelle plus particulierement regles de l'Arithmétique. Mais les premiers principes ne sont autre chose que des propriétés générales des rapports, qui ont lieu de quelque maniere que ces rapports soient désignés: telles sont par exemple ces [p. 676] regles; si on ôte un nombre d'un autre, cet autre nombre joint avec le reste, doit rendre le premier nombre; si on divise une grandeur par une autre, le quotient multiplié par le diviseur doit rendre le dividende; si on multiplie la somme de plusieurs nombres par la somme de plusieurs autres, le produit est égal à la somme des produits de chaque partie par toutes les autres, &c.

De - là il s'ensuit d'abord qu'en désignant les nombres par des expressions générales, c'est - à - dire, qui ne désignent pas plus un nombre qu'un autre, on pourra former certaines regles relatives aux opérations qu'on peut faire sur les nombres ainsi désignés. Ces regles se réduisent à représenter de la maniere la plus simple qu'il est possible, le résultat d'une ou de plusieurs opérations qu'on peut faire sur les nombres exprimés d'une maniere générale; & ce résultat ainsi exprimé, ne sera proprement qu'une opération arithmétique indiquée, opération qui variera selon qu'on donnera différentes valeurs arithmétiques aux quantités, qui dans le résultat dont il s'agit, représentent des nombres.

Pour mieux faire entendre cette notion que nous donnons de l'Algebre, parcourons - en les quatre regles ordinaires, & commençons par l'addition. Elle consiste, comme nous l'avons vû dans l'article Addition, à ajoûter ensemble avec leurs signes, sans aucune autre opération, les quantités dissemblables, & à ajoûter les coefficiens des quantités semblables: par exemple, si j'ai à ajoûter ensemble les deux grandeurs dissemblables a, b, j'écrirai simplement a + b; ce résultat n'est autre chose qu'une maniere d'indiquer que si on désigne A par quelque nombre, & b par un autre, il faudra ajoûter ensemble ces deux nombres; ainsi a + b n'est que l'indication d'une addition arithmétique, dont le résultat sera différent selon les valeurs numériques qu'on assignera à a & à b. Je suppose présentement qu'on me propose d'ajoûter 5 a avec 3 a, je pourrois écrire 5a + 3a, & l'opération arithmétique seroit indiquée comme ci - dessus: mais en examinant 5 a & 3 a, je vois que cette opération peut être indiquée d'une maniere plus simple: car quelque nombre que a représente, il est évident que ce nombre pris 5 fois, plus ce même nombre pris 3 fois, est égal au même nombre pris 8 fois: ainsi, je vois qu'au lieu de 5 a + 3 a, je puis écrire 8 a, qui est l'expression abregée, & qui m'indique une opération arithmétique plus simple que ne me l'indique l'expression 5 a + 3a.

C'est là - dessus qu'est fondée la regle générale de l'addition algébrique, d'ajoûter les grandeurs semblables en ajoûtant leurs coëfficiens numériques, & écrivant ensuite la partie littérale une fois.

On voit donc que l'addition algébrique se réduit à exprimer de la maniere la plus simple la somme ou le résultat de plusieurs nombres exprimés généralement, & à ne laisser, pour ainsi dire, à l'Arithméticien que le moins de travail à faire qu'il est possible. Il en est de même de la soustraction algébrique; si je veux retrancher b de a, j'écris simplement a - b, parce que je ne peux pas représenter cela d'une maniere plus simple: mais si j'ai à retrancher 3 a de 5a, je n'écrirai point 5a - 3a, parce que cela me donneroit plusieurs opérations arithmétiques à faire, en cas que je voulusse donner à a une valeur numérique; j'écrirai simplement 2 a, expression plus simple & plus commode pour le calcul arithmétique. Voyez Soustraction.

J'en dis autant de la multiplication & de la division: si je veux multiplier a + b par c + d, je puis écrire indifféremment (a + b) X (c + d), ou ac + bc + ad + bd, & souvent même je préfererai la premiere expression à la seconde, parce qu'elle semble demander moins d'opérations arithmétiques; car il ne faut que deux additions & une multiplication pour la premiere, & pour la seconde il faut trois additions & quatre multiplications: mais si j'ai à multiplier 5a par 3a, j'écrirai 15 aa au lieu de 5a X 3a, parce que dans le premier cas, j'aurois trois opérations arithmétiques à faire, & que dans le second je n'en ai que deux, une pour trouver aa, & l'autre pour multiplier aa par 15. De même si j'ai a + b à multiplier par a - b, j'écrirai aa - bb, parce que ce résultat sera souvent plus commode que l'autre pour les calculs arithmétiques, & que d'ailleurs j'en tire un théorème, savoir que le produit de la somme de deux nombres par la différence de ces deux nombres, est égal à la différence des quarrés de ces deux nombres. C'est ainsi qu'on a trouvé que le produit de a + b par a + b, c'est - à - dire le quarré de a + b, étoit aa + 2ab + bb, & qu'il contenoit par conséquent le quarré des deux parties, plus deux fois le produit de l'une par l'autre; ce qui sert à extraire la racine quarrée des nombres. Voyez Quarré & Racine quarrée.

Dans la division, au lieu d'écrire 20ab/5b, j'écrirai simplement 4a; au lieu d'écrire aa - xx/a + x, j'écrirai a - x. Mais si j'ai à diviser bc par hd, j'écrirai bc/hd, ne pouvant trouver une expression plus simple.

On voit donc par là que M. Newton a eu raison d'appeller l'Algebre Arithmétique universelle; puisque les regles de cette Science ne consistent qu'à extraire pour ainsi dire ce qu'il y auroit de général & de commun dans toutes les Arithmétiques particulieres qui se feroient avec plus ou moins ou autant de chiffres que la nôtre, & à présenter sous la forme la plus simple & la plus abregée, ces opérations arithmétiques indiquées.

Mais, dira - t - on, à quoi bon tout cet échaffaudage? Dans toutes les questions que l'on peut se proposer sur les nombres, chaque nombre est désigné & énoncé. Quelle utilite y a - t - il de donner à ce nombre une valeur littérale, dont il semble qu'on peut se passer? Voici l'avantage de cette dénomination.

Toutes les questions qu'on peut proposer sur les nombres, ne sont pas aussi simples que celles d'ajoûter un nombre donné à un autre, ou de l'en soustraire, de les multiplier ou de les diviser l'un par l'autre. Il est des questions beaucoup plus compliquées, & pour la solution desquelles on est obligé de faire des combinaisons, dans lesquelles le nombre ou les nombres que l'on cherche doivent entrer. Il faut donc avoir un art de faire ces combinaisons sans connoître les nombres que l'on cherche; & pour cela il faut exprimer ces nombres par des caracteres différens des caracteres numériques, parce qu'il y auroit un très grand inconvénient à exprimer un nombre inconnu par un caractere numérique qui ne pourroit lui convenir que par un très - grand hasard. Pour rendre cela plus sensible par un exemple, je suppose qu'on cherche deux nombres dont la somme soit 100, & la différence 40: je vois d'abord qu'en désignant les deux nombres inconnus par des caracteres numériques à volonté, par exemple l'un par 25, & l'autre par 50, je leur donnerois une expression très - fausse, puisque 25 & 60 ne satisfont point aux conditions de la question. Il en seroit de même d'une infinité d'autres dénominations numériques. Pour éviter cet inconvénient, j'appelle le plus grand de mes nombres x, & le plus petit y; & j'ai par cette dénomination algébrique, les deux conditions ainsi exprimées: x plus y est égal à 100, & x moins y est égal à 60; ou en caracteres algébriques:

    x + y = 100.
    x - y = 60. Voyez Caractere.
Puisque x + y est égal à 100, &x - y égal à 60, je [p. 677] vois que 100, joint avec 60, doit être égal à x + y, joint à x - y. Or pour ajoûter x + y à x - y, il faut suivant les regles de l'addition algébrique, écrire 2 x; je vois donc que 2 x est égal à 160, c'est - à - dire que 160 est le double du plus grand nombre cherché; donc ce nombre est la moitié de 160, c'est - à - dire 80: d'où il est facile de trouver l'autre qui est y: car puisque x + y est égal à 100, & que x est égal à 80, donc 80 plus y est égal à 100; donc y est égal à 100 dont on a retranché 80, c'est - à - dire 20; donc les deux nombres cherchés sont 80 & 20: en effet leur somme est 100, & leur différence est 40.

Au reste je ne prétends pas faire voir par cet article la nécessité de l'Algebre; car elle ne seroit encore guere nécessaire, si on ne proposoit pas des questions plus compliquées que celles - là: j'ai voulu seulement faire voir par cet exemple très - simple, & à la portée de tout le monde, comment par le secours de l'Algebre on parvient à trouver les nombres inconnus.

L'expression algébrique d'une question, n'est autre chose, comme l'a fort bien remarqué M. Newton, que la traduction de cette même question, en caracteres algébriques; traduction qui a cela de commode & d'essentiel, qu'elle se réduit à ce qu'il y a d'absolument nécessaire dans la question, & que les conditions superflues en sont bannies. Nous allons en donner d'après M. Newton l'exemple suivant.

Question énoncée par le     La même question traduite
 langage ordinaire.              algébriquement.
 On demande trois                x,  y,  z.
nombres avec ces conditions.

Qu'ils soient en pro - x:y::y:z, ou xz = yy. portion géométrique Voyez Proportion. continue. Que leur somme soit 20. x + y + z = 20. Et que la somme de xx + yy + zz = 140. leurs quarrés soit 140.

Ainsi la question se réduit à trouver les trois inconnues x,y,z, par les trois équations xz = yy, x + y + z = 20, xx + yy + zz = 140. Il ne reste plus qu'à tirer de ces trois équations la valeur de chacune des inconnues.

On voit donc qu'il y a dans l'Arithmétique universelle deux parties à distinguer.

La premiere est celle qui apprend à faire les combinaisons & le calcul des quantités représentées par des signes plus universels que les nombres; de maniere que les quantités inconnues, c'est - à - dire dont on ignore la valeur numérique, puissent être combinées avec la même facilité que les quantités connues, c'est - à - dire auxquelles on peut assigner des valeurs numériques. Ces opérations ne supposent que les propriétés générales de la quantité, c'est - à - dire qu'on y envisage la quantité simplement comme quantité, & non comme représentée & fixée par telle ou telle expression particuliere.

La seconde partie de l'Arithmétique universelle consiste à savoir faire usage de la méthode générale de calculer les quantités, pour découvrir les quantités qu'on cherche par le moyen des quantités qu'on connoît. Pour cela il faut 1°. représenter de la maniere la plus simple & la plus commode, la loi du rapport qu'il doit y avoir entre les quantités connues & les inconnues. Cette loi de rapport est ce qu'on nomme équation; ainsi le premier pas à faire, lorsqu'on a un problème à résoudre, est de réduire d'abord le problème à l'équation la plus simple.

Ensuite il faut tirer de cette équation la valeur ou les différentes valeurs que doit avoir l'inconnue qu'on cherche: c'est ce qu'on appelle résoudre l'équation. Voyez l'article Equation, où vous trouverez là - dessus un plus long détail, auquel nous renvoyons, ayant dû nous borner dans cet article à donner une idée générale de l'Arithmétique universelle, pour en détailler les regles dans les articles particuliers. Voyez aussi Probleme, Racine, &c.

La premiere partie de l'Arithmétique universelle s'appelle proprement Algebre ou science du calcul des grandeurs en général; la seconde s'appelle proprement Analyse: mais ces deux noms s'employent assez souvent l'un pour l'autre. V. Algebre & Analyse.

Nous ignorons si les anciens ont connu cette Science: il y a pourtant bien de l'apparence qu'ils avoient quelque moyen semblable pour résoudre au moins les questions numériques; par exemple, les questions qui ont été appellées questions de Diophante. Voyez Diophante; voyez aussi Application de l'Analyse à la Géométrie.

Selon M. l'abbé de Gua, dans son excellente histoire de l'Algebre, dont on trouve la plus grande partie à l'artic. Algebre de ce Dictionnaire, Théon paroît avoir cru que Platon est l'inventeur de l'Analyse, & Pappus nous apprend que Dïophante & d'autres auteurs anciens s'y étoient principalement appliqués, comme Euclide, Apollonius, Aristée, Eratosthene, & Pappus lui - même. Mais nous ignorons en quoi consistoit précisément leur Analyse, & en quoi elle pouvoit différer de la nôtre ou lui ressembler. M. de Malezieu, dans ses Elémens de Géométrie, prétend qu'il est moralement impossible qu'Archimede soit arrivé à la plûpart de ses belies découvertes géométriques, sans le secours de quelque chose d'équivalent à notre Analyse: mais tout cela n'est qu'une conjecture; & il seroit bien singulier qu'il n'en restât pas au moins quelque vestige dans quelqu'un des ouvrages des anciens Géometres. M. de l'Hopital, ou plûtôt M. de Fontenelle, qui est l'auteur de la préface des infiniment petits, observe qu'il y a apparence que M. Pascal est arrivé à force de tête & sans Analyse, aux belles découvertes qui composent son traité de la roulette, imprimé sous le nom d'Etonville. Pourquoi n'en seroit - il pas de même d'Archimede & des anciens?

Nous n'avons encore parlé que de l'usage de l'Algebre pour la résolution des questions numériques: mais ce que nous venons de dire de l'Analyse des anciens, nous conduit naturellement à parler de l'usage de l'Algebre dans la Géométrie: cet usage consiste principalement à résoudre les problèmes géométriques par l'Algebre, comme on résout les problèmes numériques, c'est - à - dire, à donner des noms algébriques aux lignes connues & inconnues; & après avoir enoncé la question algébriquement, à calculer de la même maniere que si on résolvoit un problème numérique. Ce qu'on appelle en Algebre équation d'une courbe, n'est qu'un problème géométrique indéterminé, dont tous les points de la courbe donnent la solution: & ainsi du reste. Dans l'application de l'Algebre à la Géométrie, les lignes connues ou données sont représentées par des lettres de l'alphabet, comme les nombres connus ou donnés dans les questions numériques: mais il faut observer que les lettres qui représentent des lignes dans la solution d'un problème géométrique, ne pourroient pas toûjours être exprimées par des nombres. Je suppose, par exemple, que dans la solution d'un problème de Géométrie, on ait deux lignes connues, dont l'une que j'appellerai a soit le côté d'un quarré, & l'autre que je nommerai b soit la diagonale de ce même quarré; je dis que si on assigne une valeur numérique à a, il sera impossible d'assigner une valeur numérique à b, parce que la diagonale d'un quarré & son côté sont incommensurables. V. Incommensurable, Diagonale, Hypotenuse , &c. Ainsi les calculs algébriques appliqués à la Géométrie ont un avantage, en ce que les caracteres [p. 678] qui expriment les lignes données peuvent marquer des quantités commensurables ou incommensurables; au lieu que dans les problèmes numériques, les caracteres qui représentent les nombres donnés ne peuvent représenter que des nombres commensurables, Il est vrai que le nombre inconnu qu'on cherche, peut être représenté par une expression algébrique qui désigne un incommensurable: mais alors c'est une marque que ce nombre inconnu & cherché n'existe point, que la question ne peut être résolue qu'à peu près, & non exactement; au lieu que dans l'application de l'Algebre à la Géométrie, on peut toûjours assigner par une construction géométrique, la grandeur exacte de la ligne inconnue, quand même l'expression qui désigne cette ligne seroit incommensurable. On peut même souvent assigner la valeur de cette ligne, quoiqu'on ne puisse pas en donner l'expression algébrique, soit commensurable, soit incommensurable: c'est ce qui arrive dans le cas irréductible du troisieme dégré. Voyez Cas irréductible.

Un des plus grands avantages qu'on a tirés de l'application de l'Algebre à la Géométrie, est le calcul différentiel; on en trouvera l'idée au mot Différentiel, avec une notion exacte de la nature de ce calcul. Le calcul différentiel a produit l'intégral. Voyez Calcul & Intégral.

Il n'y a point de Géometre tant soit peu habile, qui ne connoisse aujourd'hui plus ou moins l'usage infini de ces deux calculs dans la Géométrie transcendante.

M. Newton nous a donné sur l'Algebre un excellent Ouvrage, qu'il a intitulé Arithmetica universalis. Il y traite des regles de cette science, & de son application à la Géométrie. Il y donne plusieurs méthodes nouvelles, qui ont été commentées pour la plûpart par M. s'Gravesande dans un petit ouvrage très - utile aux commençans, intitulé Elementa algebroe, & par M. Clairaut dans ses élémens d'Algebre, Voyez à l'article Algebre les noms de plusieurs autres auteurs, qui ont traité de cette science: nous croyons que l'ouvrage de M. s'Gravesande, celui. du P. Lamy, la science du calcul du P. Reyneau, l'analyse démontrée du même auteur, & l'Algebre de Saunderson publiée en Anglois, sont en ce genre les ouvrages dont les jeunes gens peuvent le plus profiter; quoique dans plusieurs de ces traités, & peut - être dans tous, il reste bien des choses à desirer. Sur la maniere d'appliquer l'Algebre à la Géométrie, c'est - à - dire de réduire en équation les questions géométriques: nous ne connoissons rien de meilleur ni de plus lumineux que les regles données par M. Newton, p. 82. & suiv. de son arithm. univ. édition de Leyde 1732. jusqu'à la pag. 96. elles sont trop précieuses pour être abregées, & trop longues pour être inserées ici dans leur entier; ainsi nous y renvoyons nos lecteurs. Nous dirons seulement qu'elles peuvent se réduire à ces deux regles.

Premiere regle. Un problème géométrique étant proposé (& on pourroit en dire autant d'un problème numérique) comparez ensemble les quantités connues & inconnues que renferme ce problème; & sans distinguer les connues d'avec les inconnues, examinez comment toutes ces quantités dépendent les unes des autres; & quelles sont celles qui étant connues feroient connoître les autres, en procédant par une méthode synthétique.

Seconde regle. Parmi ces quantités qui seroient connoître les autres, & que je nomme pour cette raison synthétiques, cherchez celles qui feroient connoître les autres le plus facilement, & qui pourroient être trouvées le plus difficilement, si on ne les supposoit point connues; & regardez ces quantités comme celles que vous devez traiter de connues.

C'est là - dessus qu'est fondée la regle des Géome<cb-> tres, qui disent que pour résoudre un problème géométrique algébriquement, il faut le supposer résolu; en effet pour résoudre ce problème, il faut se représenter toutes les lignes, tant connues qu'inconnues, comme des quantités qu'on a devant les yeux, & qui dépendent toutes les unes des autres; ensorte que les connues & les inconnues puissent réciproquement & à leur tour être traitées, si l'on veut, d'inconnues & de connues. Mais en voilà assez sur cette matiere dans un Ouvrage où l'on ne doit en exposer que les principes généraux. Voyez Application. (O)

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