FIGURÉ (Page 6:781)

FIGURÉ, adj. (Arithmétique & Algebre.) On appelle nombres figurés des suites de nombres formés suivant la loi qu'on va dire. Supposons qu'on ait la suite des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, &c. & qu'on prenne successivement la somme des nombres de cette suite, depuis le premier jusqu'à chacun des autres, on formera la nouvelle suite 1, 3, 6, 10, 15, &c. qu'on appelle la suite des nombres triangulaires. Si on prend de même la somme des nombres triangulaires, on formera la suite 1, 4, 10, 20, &c. qui est celle des nombres pyramidaux. La suite des nombres pyramidaux formera de même une nouvelle suite de nombres. Ces différentes suites forment les nombres qu'on appelle figurés; les nombres naturels sont ou peuvent être regardés comme les nombres figurés du premier ordre, les triangulaires comme les nombres figurés du second, les pyramidaux comme du troisieme; & les suivans sont appellés du quatrieme, du cinquieme, du sixieme ordre, &c. & ainsi de suite. Voici pourquoi on a donné à ces nombres le nom de figurés.

Imaginons un triangle que nous supposerons équilatéral pour plus de commodité, & divisons - le par des ordonnées paralleles & équidistantes. Mettons un point au sommet, deux points aux deux extrémités de la premiere ordonnée, c'est - à - dire de la plus proche du sommet; la seconde ordonnée étant double de la premiere, contiendra trois points aussi distans l'un de l'autre que les deux précédens; la troisieme en contiendra quatre; & ainsi 1, 2, 3, 4, &c. seront la somme des points que contient chaque ordonnée: maintenant il est visible que le premier triangle qui a pour base la premiere ordonnée, contient 1+2 ou 3 de ces points; que le second triangle, quadruple du premier, en contient 1+2+3 ou 6; que le troisieme noncuple du premier en contient 1+2 +3+4 ou 10, &c. & ainsi de suite. Voilà les nombres triangulaires. Prenons à présent une pyramide équilatérale & triangulaire, & divisons - la de même par des plans paralleles & équidistans qui forment des triangles paralleles à sa base, lesquels triangles formeront entr'eux la même progression 1, 4, 9, &c. que les triangles dont on vient de parler, il est visible que le premier de ces triangles contenant 3 points, le second en contiendra 6, le troisieme 10, &c. comme on vient de le dire, c'est - à - dire que le nombre des points de chacun de ces triangles sera un nombre triangulaire. Donc la premiere pyramide, celle qui a le premier triangle pour base, contiendra 1+3 ou 4 points, la seconde 1+3+6 ou 10, la troisieme 1+3+6+10 ou 20. Voilà les nombres pyramidaux. Il n'y a proprement que les nombres triangulaires & les pyramidaux qui soient de vrais nombres figurés, parce qu'ils représentent en effet le nombre des points que contient une figure triangulaire ou pyramidale: passé les nombres pyramidaux il n'y a plus de vrais nombres figurés, parce qu'il n'y a point de figure en Géométrie au - delà des solides, ni de dimension au - delà de trois dans l'étendue. Ainsi c'est par pure analogie & pour simplifier, que l'on a appellé figurés les nombres qui suivent les pyramidaux.

Ces nombres figurés ont cette propriété. Si on éleve a+b successivement à toutes les puissances en cette sorte, a+b aa+2ab+bb a3+3a2b+3ab2+b3 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 a5, &c. les coefficiens 1, 2, 3, &c. de la seconde colonne verticale seront les nombres naturels; les coefficiens 1, 3, 6, de la troisieme seront les nombres triangulaires; ceux de la quatrieme, 1, 4, &c. seront les pyramidaux, & ainsi de suite.

M. Pascal dans son ouvrage qui a pour titre triangle arithmétique, M. de l'Hopital dans le liv. X. de ses sections coniques, & plusieurs autres, ont traité avec beaucoup de détail des propriétés de ces nombres. Voici la maniere de trouver un nombre figuré d'une suite quelconque.

1°. 1 étant le premier terme de la suite des nombres naturels, on aura n pour le ne terme de cette suite. Voyez Progression arithmétique. Donc n est le ne nombre figuré du premier ordre.

2°. La somme d'une progression arithmétique est égale à la moitié de la somme des deux extremes, multipliée par le nombre des termes. Or le ne nombre triangulaire est la somme d'une progression arithmétique, dont 1 est le premier terme, n le dernier, & n le nombre des termes. Donc le ne nombre triangulaire est [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

3°. Pour trouver le ne nombre pyramidal, voici comment il faut s'y prendre. Je vois que le ne nombre du premier ordre est de la forme A n, A étant un coefficient constant égal à l'unité; que le ne nombre du second ordre est de la forme A n+Bnn, A & B étant égaux chacun à [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: j'en conclus que le ne nombre pyramidal sera de la forme An+Bnn +cn3, A, B, c, étant des coefficiens inconnus que je détermine de la maniere suivante, en raisonnant ainsi: Si An+Bnn+cn3 est le ne nombre pyramidal, le n+1e doit être A(n+1)+B(n+1)2 +c(n+1)3. Or la différence du n+1e nombre pyramidal & du ne doit être égale au n+1e nombre triangulaire, puisque par la génération des nombres figurés le n+1e nombre pyramidal n'est autre chose que le n+1e nombre triangulaire ajoûté au ne nombre pyramidal; de plus le n+1e nombre triangulaire est [omission: formula; to see, consult fac-similé version]: de - là on tirera une équation qui servira à déterminer A, B & c, & on trouvera après tous les calculs que An+B [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Il est à remarquer que pour avoir A, B, & c, il faut comparer séparément dans chaque membre de l'équation les termes où n se trouve élevée au même degré; car la valeur de A, de B, & de c, étant toûjours la même, doit être indépendante de celle de n, qui est variable.

4°. Le nombre triangulaire de l'ordre n étant [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & le pyramidal correspondant étant [omission: formula; to see, consult fac-similé version], la simple analogie fait voir que le ne nombre figuré du quatrieme ordre sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & général il est évident que si [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est le ne nombre figuré d'un ordre quelconque, le ne nombre figuré du suivant sera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. En effet, suivant cette expression, le n+1e nombre figuré de ce dernier ordre seroit [omission: formula; to see, consult fac-similé version], dont la différence avec le ne est évidemment [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [p. 782] [omission: formula; to see, consult fac-similé version], qui est le [omission: formula; to see, consult fac-similé version] nombre figuré de l'ordre précédent, comme cela doit être.

En général si (A+Bn) (n+q) (n+q - 1) (n+q - 2) . . . . n, est le ne terme d'une suite quelconque, & qu'on prenne successivement la somme des termes de cette suite, le ne terme de la nouvelle suite ainsi formée sera (A+Bn) (n+q+1) (n+q) (n+q - 1) . . . . . n; A & B étant deux indéterminées qu'on déterminera par cette condition, que le n+1e terme de la nouvelle suite moins le ne de cette même suite soit égal au n+1e terme de la suite donnée. D'où l'on tire, en supprimant de part & d'autre les facteurs communs (n+q+1) .... (n+1) (A+Bn+B)X(n+q+2) - (A+Bn) Xn=A+Bn+B, & par conséquent B [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & A [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Cette formule est beaucoup plus générale que celle qui fait trouver les nombres figurés; car si au lieu de supposer que la premiere suite soit formée des nombres naturels, on suppose qu'elle forme une progression arithmétique quelconque, on peut par le moyen de la formule qu'on vient de voir, trouver la somme de toutes les autres suites qui en seront dérivées à l'infini, & chaque terme de ces suites. En effet le ne terme de la premiere suite étant A+Bn, le ne terme de la seconde suite sera (A+Bn) n; le terme de la troisieme suite sera (G+Dn) (n+1) n, & ainsi de suite, G & D se déterminant par A & B, comme A & B par A & B, &c. A l'égard de la somme des termes d'une suite quelconque, il est visible qu'elle est égale au ne terme de la suivante.

M. Jacques Bernoulli dans son traité de seriebus infinitis earumque summâ infinitâ, a donné une méthode très - ingénieuse de trouver la somme d'une suite, dont les termes ont 1 pour numérateur, & pour dénominateurs des nombres figurés d'un ordre quelconque, à commencer aux triangulaires. Voici en deux mots l'esprit de cette méthode: Si de la fraction [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on retranche [omission: formula; to see, consult fac-similé version], on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. D'où il est aisé de conclure que la somme d'une suite, dont les dénominateurs sont, par exemple, les nombres triangulaires, se trouvera aisément en retranchant de la suite 1, [omission: formula; to see, consult fac-similé version], &c. cette même suite diminuée de son premier terme, & multipliant ensuite par 2, ce qui donnera 2. Voyez dans l'ouvrage cité le détail de cette méthode. Voyez aussi l'art. Suite ou Série.

On peut regarder comme des nombres figurés les nombres polygones, quoiqu'on ne leur donne pas ordinairement ce nom. Ces nombres ne sont autre chose que la somme des termes d'une progression arithmétique; si la progression est des nombres naturels, ce sont les nombres triangulaires; si la progression est 1, 3, 5, 7, &c. ce sont les nombres quarrés; si elle est 1, 4, 7, 10, &c. ce sont les nombres pentagones. Voici la raison de cette dénomination: Construisez un polygone quelconque, & mettez un point à chaque angle; ensuite d'un de ces angles tirez des lignes à l'extrémité de chaque côté, ces lignes seront en nombre égal au nombre des côtés du polygone moins deux, ou plûtôt au nombre des côtés, en comptant deux des côtés pour deux de ces lignes; prolongez ces lignes du double, & joignez les extrémités par des lignes droites, vous formerez un nouveau polygone, dont chaque côté étant double de son correspondant parallele, contiendra un point de plus. Donc si m est le nombre des côtés de ce polygone, la circonférence de ce polygone aura m points de plus que la circonférence du précédent; & le polygone entier, c'est à - dire l'aire de ce polygone contiendra m - 2 points de plus que le précédent. Voyez Polygone.

Une simple figure fera voir aisément tout cela, & montrera que pour les nombres pentagones où m=5, on a m - 2=3, & qu'ainsi ces nombres sont la somme de la progression 1, 4, 7, &c. dont la différence est trois.

On pourroit former des sommes, des nombres polygones, qu'on appelleroit nombres polygones pyramidaux; ces nombres exprimeroient le nombre des points d'une pyramide pentagone quelconque. On trouveroit ces nombres par les méthodes données dans cet article. Voyez Polygone, Pyramidal, Suite ou Série, &c. (O)

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