ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

RECHERCHE Accueil Mises en garde Documentation ATILF ARTFL Courriel

Previous subarticle

Ellipse (Page 5:518)

Ellipse de M. Cassini, autrement nommée cassinoïde, est une courbe que feu M. Jean Dominique Cassini avoit imaginée pour expliquer les mouvemens des planetes; cette courbe a deux foyers F, f (fig. 24.), dont la propriété est telle que le produit F M X M f de deux lignes quelconques menées de ces foyers à un point quelconque M de la courbe, est toûjours égal à une quantité constante; au lieu que dans l'ellipse ordinaire ou d'Apollonius, c'est la somme de ces lignes, & non leur produit, qui est [p. 519] égale à une quantité constante. M. l'abbé de Gua dans ses usages de l'analyse de Descartes, a déterminé les principales propriétés de cette courbe. Il y examine les différentes figures qu'elle peut avoir, & dont nous avons rapporté quelques - unes à l'article Conjugué, & il conclud que cette courbe n'a pas été bien connue par ceux qui en ont parlé avant lui, si on en excepte cependant l'illustre M. Grégory. Voyez astron. physiq. & géométr. élément. page 33'. édit. de Geneve, 1726, ou les trans. phil. Sept. 1704.

Pour avoir une idée des propriétés de cette courbe, soit a son demi - axe, f la distance d'un des foyers au centre, x l'abscisse prise depuis le centre, y l'ordonnée, on aura, comme il est aisé de le prouver par le calcul [omission: formula; to see, consult fac-similé version], par la propriété de cette courbe, ou [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou enfin [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; donc, 1°. cette équation ne donnera jamais que deux valeurs réelles tout au plus pour y, l'une positive, l'autre négative, & égale à la positive; car les deux valeurs qu'on auroit en mettant le signe - devant [omission: formula; to see, consult fac-similé version] seroient imaginaires, puisque y seroit la racine d'une quantité négative. 2°. En supposant même le signe + devant cette derniere quantité, il est visible que la valeur de y ne sera réelle que quand [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à dire quand [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc si [omission: formula; to see, consult fac-similé version], l'ordonnée sera réelle, sinon elle sera imaginaire.

Donc si a a=2 f f, l'ordonnée sera nulle au centre, & la courbe aura la figure d'un 8 de chiffre ou lemniscate (Voyez Lemniscate); car on aura alors x x=ou>2 f f - a a, condition pour que l'ordonnée soit nulle ou réelle. Si 2 f f>a a, les ordonnées réelles ne commenceront qu'au point où [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & elles finiront au point où x=a; car (a a - f f)2 doit aussi être>ou=(x x - f f)2. Ainsi dans ce cas la courbe sera composée de deux courbes conjuguées & isolées, distantes l'une de l'autre de la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & si dans cette supposition on a de plus [omission: formula; to see, consult fac-similé version] ou s=a, la courbe se réduira à deux points conjugués uniques. Si f>a, la courbe sera totalement imaginaire. Enfin si 2 f f<a a, la courbe sera continue, & aura toutes ses ordonnées réelles, égales & de signe contraire, depuis x=0 jusque'à x=a.

Cette courbe que M. Cassini avoit voulu introduire dans l'Astronomie, n'est plus qu'une courbe purement géométrique & de simple curiosité, car on sait que les planetes décrivent des ellipses apolloniennes ou ordinaires. On demandera peut - être par quelle raison M. Cassini avoit substitué cette ellipse à celle de Kepler. Voici ma conjecture sur ce sujet. On sait que la plûpart des planetes décrivent des ellipses peu excentriques. On sait aussi, & on peut le conclure de l'article ellipse qui précede, que dans une ellipse peu excentrique les secteurs faits par les rayons vecteurs à un foyer sont proportionnels à très - peu - près aux angles correspondans faits à l'autre foyer; & c'est sur cette propriété que Ward ou Sethus Wardus a établi sa solution approchée du problème qui consiste à trouver l'anomalie vraie d'une planete, l'anomalie moyenne étant donnée. Voyez Ellipse & Anomalie. Voyez aussi les instit. astronomiq. de M. le Monnier, page 506, & suiv. Le rapport du secteur infiniment petit à l'angle correspondant, est comme le rectangle des deux lignes menées au foyer, & dans une ellipse peu excentrique, ce rectangle est à - peu - près constant: voilà le principe de Ward. Or M. Cas<cb-> sini paroît avoir raisonné ainsi: Puisque le rapport des secteurs élémentaires aux angles correspondans est comme ce réctangle, il sera constant dans une courbe où le rectangle seroit constant; il a en conséquence imaginé sa Cassinoïde.

Mais, 1°. quand la Cassinoïde auroit cette propriété de la proportionnalité des secteurs aux angles, ce ne seroit pas une raison pour l'introduire dans l'Astronomie à la place de l'ellipse conique que les planetes décrivent en effet; que gagne - t - on à simplifier un problème, lorsqu'on change l'état de la question? 2°. Si dans l'ellipse conique le rapport des secteuis aux angles est comme le rectangle des deux lignes menées aux soyers, c'est que la somme de ces deux lignes est constante (Voyez Ellipse); sans cela la proportion n'a plus lieu. Ainsi même dans l'ellipse cassinienne les secteurs ne sont pas conune les angles. J'ai crû cette remarque assez importante pour ne la pas negliger ici. (O)


The Project for American and French Research on the Treasury of the French Language (ARTFL) is a cooperative enterprise of Analyse et Traitement Informatique de la Langue Franšaise (ATILF) of the Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), the Division of the Humanities, the Division of the Social Sciences, and Electronic Text Services (ETS) of the University of Chicago.

PhiloLogic Software, Copyright © 2001 The University of Chicago.