ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ
DES SCIENCES, DES ARTS ET DES MÉTIERS

RECHERCHE Accueil Mises en garde Documentation ATILF ARTFL Courriel

Previous page

"1077">

C'est ainsi qu'en divisant une question en plusieurs autres questions particulieres, on vient plus aisément à bout de la resoudre. Ainsi dans l'exemple proposé, après avoir distingué les différentes parties de la Musique, les différentes sortes d'exécution par les instrumens & par les voix, les différentes sortes de voix, &c. on saura plus aisément si l'avantage est tout d'un côté, ou s'il doit être partagé.

Pareil inconvénient se rencontre souvent dans les disputes des gens de lettres. Pour savoir si les anciens auteurs l'emportent sur les modernes, qu'on divise ces auteurs dans leurs classes différentes, & la question sera bien - tôt éclaircie. On trouvera des poëmes épiques & des histoires qui valent mieux que les nôtres; des poëtes satyriques qui valent au moins les nôtres; mais des poëtes tragiques & comiques qui sont au - dessous de Corneille & de Moliere.

Il se trouve presque toûjours dans les discours des hommes plusieurs occasions semblables, ou, pour parler & penser juste, il faudroit avoir recours à la division ou distinction des choses. La plûpart des expressions signifiant des objets composés de différentes parties, l'on dit vrai par rapport à quelques - unes, & non point par rapport à quelques - autres. On ne devroit presque jamais absolument, & sans distinction, énoncer rien d'aucun objet complexe. Quand on dit de quelqu'un, il est homme d'esprit, il est habile; on pourroit ajoûter, il l'est par rapport à certaines choses: car par rapport à d'autres il ne l'est point. Tel seroit l'usage de la division ou distinction, si l'on ne vouloit penser ni juger qu'avec justesse. Logique du P. Buffier.

Divisïon (Page 4:1077)

Divisïon, s. f. en Arithmétique, c'est la derniere des quatre grandes regles de cette Science: elle confiste à déterminer combien de fois une plus petite quantité est contenue dans une plus grande. Voyez Arithmétique.

Au fond la division n'est qu'une méthode abrégée de soustraction, son effet se réduisant à ôter un plus petit nombre d'un plus grand autant de fois qu'il est possible, c'est - à - dire autant de fois qu'il y est contenu: c'est pourquoi on considere principalement trois nombres dans cette opération: 1°. celui que l'on donne à diviser, appellé dividende: 2°. celui par lequel le dividende doit être divisé; on l'appelie diviseur: 3°. celui qui exprime combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende; c'est le nombre qui résulte de la division du dividende par le diviseur, & c'est ce que l'on appelle quotient, &c.

Il y a différentes manieres de faire la division; l'angloise, la flamande, l'italienne, l'espagnole, l'allemande, l'indienne, &c. toutes également justes, en ce qu'elles font trouver le quotient avec la même certitude, & qu'elles ne different que dans la maniere d'arranger & de disposer les nombres.

Cette opération se divise en division numérique & division algébrique: dans la numérique il y a division d'entiers & division de fractions.

La division ordinaire se fait en cherchant combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Si le dividende a un plus grand nombre de chiffres que le diviseur, on prend le dividende par parties, en commençant de la gauche vers la droite, & l'on cherche combien de fois le diviseur se trouve dans chacune de ces parties.

Par exemple, on propose de diviser 6759 par 3.

Pour résoudre cette question, voici comment il faut s'y prendre: arrangez les termes ainsi que vous le voyez dans l'opération.

Opérations.

Dividende, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Après quoi mettant un point sous le premier chiffre 6 du dividende, afin de déterminer le premier membre de la division, vous direz: en 6 combien de fois 3? il est évident qu'il y est deux fois; écrivez 2 au quotient sous la ligne au - dessus de laquelle est placé le diviseur 3; & pour faire voir que 3 est réellement contenu deux fois dans 6, vous direz, deux fois 3 font 6, que vous écrirez sous le 6 du dividende; & soustrayant 6 de 6, il ne reste rien; ce qui fait voir que 3 est contenu exactement deux fois dans 6. Ensuite posant un point sous le chiffre 7 du dividende, vous le descendrez au - dessous de la ligne, & vous direz, en 7 combien de fois 3? il y est deux; écrivez encore 2 au quotient, & multipliant 3 par 2, vous aurez 6 que vous placerez sous 7; vous retrancherez 6 de 7, & il vous restera 1, à côté duquel vous descendrez le chiffre 5 du dividende, pour avoir 15 à diviser par 3: ainsi vous direz, en 15 combien de fois 3? il y est précisément cinq fois; vous écrirez donc 5 au quotient, & multipliant 3 par 5 vous aurez 15, que vous soustrayerez de 15, & il ne restera rien: enfin descendez 9 (ayant toûjours soin de mettre un point sous le chiffre que l'on descend, afin de savoir toûjours sur quels chiffres l'on a operé), vous direz, en 9 combien de fois 3? il y est exactement trois fois; mettez donc 3 au quotient: en effet multipliant 3 par 3, vous trouverez 9, lequel retranché de 9 ne laisse aucun reste, & l'opération est achevée, puisque tous les chiffres ont été divisés par 3, ce qui donne 2253 pour quotient, c'est - à - dire que 3 est contenu 2253 fois dans 6759, ce que l'on peut prouver en multipliant le quotient 2253 par le diviseur 3; car si ce produit est égal au dividende 6759, on aura une preuve que l'opération est exacte: effectivement, s'il est vrai que le diviseur 3 soit contenu exactement 2253 fois dans le dividende 6759, ainsi que le quotient l'annonce, en prenant le nombre 3 2253 fois, on doit avoir un produit égal à 6759: on voit donc que l'on peut prouver la division par la multiplication.

Quand le diviseur contient plusieurs chiffres, la division est plus difficile & un peu tâtonneuse; mais ce tâtonnement a des regles.

Exemple. Il s'agit de diviser 32035 par 469.

Vous disposerez les termes comme ci - dessus.

Opération.
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] Les trois chiffres du diviseur 469 n'étant pas contenus dans les trois premiers chiffres 320 du dividende, on en prendra quatre, & l'on aura 3203 pour premier membre de la division: ainsi l'on dira en 32 combien de fois 4? il y est justement huit fois; mais on n'écrira pas d'abord ce nombre 8 au quotient; car en multipliant 469 par 8, on auroit le produit 3752 plus grand que 3203; le diviseur 469 n'est donc [p. 1078] pas compris huit fois dans le premier membre de la division 3203. Supposons qu'il y soit contenu sept fois; si nous en faisons l'essai en multipliant 469 par 7, nous trouverons le produit 3283, qui est encore plus grand que 3203: mais on peut écrire 6 au quotient. Multiplions donc le diviseur 469 par ce chiffre 6; mettons - en le produit 2814 sous 3203, & après avoir soustrait 2814 de 3203, il reste 389 dixaines, à côté desquelles on descendra les cinq unités du dividende, afin d'avoir 3895 unités à diviser par 469. Comme il y a au dividende 3895 un chiffre de plus qu'au diviseur 469, on demandera combien de fois le premier chiffre 4 du diviseur est contenu dans les deux premiers chiffres 38 du dividende (ce que l'on doit observer généralement toutes les fois qu'un membre de la division a un chiffre de plus que le diviseur); on dira donc en 38 combien de fois 4? il y est bien neuf fois; supposant donc 9, on multipliera le diviseur 469 par 9, & le produit 4221 étant plus grand que 3895, c'est une preuve que le diviseur 469 n'est pas compris neuf fois dans le dividende 3895: on écrira donc 8 au quotient, & l'on multipliera par ce nombre le diviseur 469 pour avoir le produit 3752, que l'on retranchera du dividende 3895; il restera 143 unités qui ne peuvent plus se diviser en cette qualité par 469: c'est pourquoi si on ne veut pas pousser le calcul plus loin, on écrira à la suite du quotient 68 le reste 143, sous lequel on posera 469, en séparant ces deux nombres par une ligne en forme de fraction. Mais en supposant que 143 signifient 143 livres, on réduira ces livres en sols en les multipliant par 20, ce qui produira 2860 sols, que l'on divisera toûjours par 469 pour avoir 6 sols, & il restera 46 sols, dont on fera des deniers en multipliant 46 par 12; ce qui produira 552 deniers, que l'on divisera encore par 469 pour avoir 1 denier, & pour reste 83 deniers, que l'on écrira à la suite de 1 denier sous cette forme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ce qui signifie qu'il reste encore 83 deniers à partager en 469 parties; mais on ne pousse pas l'opération plus loin, parce que le commerce n'admet point en France de monnoies plus petites que le denier.

Remarquez 1°. qu'après avoir déterminé le premier membre de la division qui apporte un chiffre au quotient, tous les autres chiffres du dividende qui suivent ce premier membre, doivent en fournir chacun un au quotient: ainsi l'on peut savoir des le commencement de l'opération combien le quotient doit avoir de chiffres.

2°. L'opération sur le premier membre étant achevée, si après avoir descendu un chiffre on s'apperçoit que le diviseur entier n'est pas contenu dans ce nouveau membre du dividende, on mettra o au quotient, & l'on descendra un nouveau chiffre; & s'il arrivoit que le diviseur ne fût pas encore contenu dans ce membre ainsi augmenté, on mettroit encore un o au quotient; & ainsi de suite jusqu'à ce que le diviseur fût enfin compris dans le membre sur lequel on opere.

3°. On ne doit jamais mettre au quotient un nombre plus grand que 9.

4°. Si après avoir fait la soustraction on trouvoit un reste égal au diviseur, ou plus grand, ce seroit un signe que le nombre que l'on a mis au quotient n'est pas assez grand; il faudroit l'augmenter: afin donc qu'un chiffre mis au quotient soit légitime, il faut que le produit de ce chiffre par le diviseur ne soit pas plus grand que le membre divisé, ni qu'après la soustraction il y ait un reste égal au diviseur ou plus grand. Si le premier cas avoit lieu, on diminueroit le chiffre du quotient; & dans le second cas on l'augmenteroit.

5°. Quand on commence cette opération, il faut d'abord prendre autant de chiffres dans le dividende qu'il y en a dans le diviseur: mais si l'on remarque que les chiffres du diviseur ne sont pas compris dans ceux du dividende pris en pareil nombre, alors on augmentera d'un chiffre le premier membre de la division: & en ce cas on demandera combien de fois le premier chiffre du diviseur est contenu dans les deux premiers chiffres du membre à diviser: on écrira ce nombre au quotient, après avoir essayé s'il n'est pas trop grand; car il ne sauroit jamais être trop petit.

La théorie de tous ces préceptes est exactement démontrée dans les institutions de Géométrie, imprimées à Paris chez Debure l'ainé en 1746; rien n'est plus propre à faire apprendre une science avec promptitude & solidité, que la connoissance des raisons sur lesquelles la pratique est fondée.

Quant à la division des fractions vulgaires, des fractions décimales, & à la division de proportion, voyez Fraction, Décimal, Proportion

La division algébrique se fait précisément de la même maniere que la division numérique. Soit que l'on agisse sur des monomes ou sur des polynomes, la regle des signes + & - est la même que celle de la multiplication, voyez Multiplication. Les coefficiens se divisent comme dans l'Arithmétique, voyez Coefficient. Pour les quantités algébriques, on fait disparoître au dividende les lettres qui lui sont communes avec le diviseur, & l'on écrit le reste au quotient. Si le diviseur n'a rien de commun avec le dividende, on écrit le dividende au - dessus d'une petite ligne horisontale, sous laquelle on pose le diviseur, & la division algébrique est faite.

Soit, par exemple, 12 b c d à diviser par 3 d: disposez ces quantités comme dans la division arithmétique.

Opération.

Dividende, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] Et dites: + divisé par + = +, écrivez + au quotient sous la ligne: ensuite 12 divisé par 3 = 4, posez 4 au quotient; enfin b c d divisé par d = b c, que vous écrirez au quotient à la suite du coefficient 4. En supprimant, comme vous voyez, du dividende b c d la lettre d qui est commune au diviseur 3 d, on écrit au quotient le reste b c du dividende; & pour faire voir que + 4 b c est le vrai quotient, on n'a qu'à multiplier + 3 d par + 4 b c, c'est - à - dire le diviseur par le quotient, & l'on retrouvera le dividende + 12 b c d; ce qui prouve que la division est juste. Voyez Multiplication.

Divisions. + 15 a c t par - 5 a t.

Opération.
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] Disons donc: + divisé par - = - ; 15 divisé par 5 donne 3; a c t divisé par a t = c. Le quotient est donc - 3 c; car en multipliant le diviseur - 5 a t par le quotient - 3 c, on a le dividende + 15 a c t, ce qui prouve la justesse de l'opération.

Propose - t - on de diviser - 18 a2 b3 g par + 3 a b g?

Opération.
[omission: formula; to see, consult fac-similé version] On dira: - divisé par + = - ; 18 divisé par 3 = 6; a2 b3 g divisé par a b g = a b2: ainsi le quotient est - 6 a b2; ce que l'on prouve en multipliant le diviseur + 3 a b g par le quotient - 6 a b2, puisque cette multiplication redonne le dividende - 18 a2 b3 g.

Enfin si l'on veut diviser - 24 c3 d4 t par - 8 c2 d3 .

Opération.
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]

Next page


The Project for American and French Research on the Treasury of the French Language (ARTFL) is a cooperative enterprise of Analyse et Traitement Informatique de la Langue Française (ATILF) of the Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), the Division of the Humanities, the Division of the Social Sciences, and Electronic Text Services (ETS) of the University of Chicago.

PhiloLogic Software, Copyright © 2001 The University of Chicago.