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CREPUSCULE (Page 4:455)
CREPUSCULE, s. m. en Astronomie, est le tems
qui s'écoule depuis la premiere pointe du jour jusqu'au lever du soleil, & depuis le coucher du soleil
jusqu'à la nuit fermée. Voyez
On suppose ordinairement que le crépuscule commence & finit, quand le soleil est à dix - huit degrés au - dessous de l'horison. Il dure plus long - tems dans les solstices que dans les équinoxes, & dans la sphere oblique que dans la sphere droite. On en peut voir la raison dans les inst. astronom. de M. le Monnier, page 405 & suiv.
Les crépuscules sont causés par la réfraction que
souffrent les rayons du soleil en passant par l'atmosphere,
qui réflechit ensuite ces rayons jusqu'à nos
yeux. En effet supposons un observateur en O (Pl.
astronomique,
On peut expliquer de la même maniere le crépuscule du soir par la réfraction & la réflexion des rayons du soleil.
L'abaissement du soleil sous l'horison, au commencement du crépuscule du matin, ou à la fin du crépuscule du soir, se détermine aisément; savoir, en obseîvant le moment où le jour commence à paroître le matin, ou bien celui où il finit le soir; & trouvant ensuite le lieu du soleil pour ce moment, & par conséquent la quantite dont il est abaissé au - dessous de l'horison.
Alhazen la trouve de dix - neuf degrés, Tycho de
dix - sept, Stevin de dix - huit, Cassini de quinze; Riccioli le matin dans les équinoxes de 16
On ne sera point étonné de la différence qui se trouve entre les >culs de tous ces astronomes, si on remarque que la cause du crépuscule est sujette aux changemens. En effet, si les exhalaisons répandues dans l'atmosphere sont plus abondantes ou plus hautes qu'à l'ordinaire, le crépuscule du matin commencera plûtôt; & celui du soir finira plus tard que de coûtume; car plus les exhalaisons seront abondantes, plus il y aura de rayons réfléchis, par con<cb->
De ce que nous venons de dire, il s'ensuit que quand la déclinaison du soleil & l'abaissement de l'équateur sous l'horison, sont tels que le soleil ne descend pas de 18 degrés au - dessous de l'horison, le crépuscule doit durer toute la nuit. C'est pour cela que dans nos climats au solstice d'été nous n'avons, pour ainsi dire, point de nuit, & que dans des climats plus septentrionaux il n'y en a point du tout, quoique le soleil soit sous l'horison. C'est ce qui arrive, quand la différence entre l'abaissement de l'équateur & la déclinaison boréale du soleil est plus petite que 18 degrés. Il suffit de faire la figure pour s'en convaincre.
L'élévation du pole (
Pour trouver le crépuscule par le moyen du globe
artificiel, voyez
Le crépuscule est un des principaux avantages que nous retirons de notre atmosphere; en effet, si nous n'avions point d'atmosphere autour de nous, la nuit viendroit dès que le soleil se cacheroit sous notre horison, ou le jour naîtroit des que le soleil reparoîtroit, & nous passerions ainsi tout d'un coup des ténebres à la lumiere & de la lumiere aux ténebres. L'atmosphere dont nous sommes environnés fait que le jour & la nuit ne viennent que par des degrés insensibles.
Kepler a prétendu expliquer les crépuscules par le
moyen d'une matiere lumineuse répandue autour du
soleil, qui, s'elevant près de l'horison en forme de
cercle, forme, selon lui, le crépuscule; cette matiere
peut bien y entrer pour quelque chose; mais le crépuscule qui en provient paroît d'une bien moindre
durée que celui qui est causé par notre atmosphere,
lequel ne finit que quand le soleil est à environ 18
degrés au dessous de l'horison. Il y a apparence que
cette matiere qui est autour du soleil est ce qui produit
la lumiere zodiacale. Voyez
Les crépuscules d'hyver sont moins longs que ceux
d'été; parce qu'en hyver l'air étant plus condensé
doit avoir moins de hauteur, & par conséquent les
crépuscules finissent plûtôt; c'est le contraire en été.
De plus les crépuscules du matin sont plus courts que
ceux du soir; car l'air est plus dense & plus bas le
matin que le soir, parce que la chaleur du jour le dilate
& le raréfie, & par conséquent augmente son
volume & sa hauteur. Le commencement du crépuscule arrive lorsque les étoiles de la sixieme grandeur
disparoissent le matin; mais il finit quand elles commencent
à paroître sur le soir, la lumiere du soleil
dont l'air est pénétré étant le seul obstacle qui les empêchoit
de paroître. En été vers les solstices, le cré<pb->
[p. 456]
De tout ce que nous avons dit, il s'ensuit que le
commencement du crépuscule du matin on la fin de
celui du soir étant donnés, on trouvera facilement
l'élévation de l'air qui réfléchit la lumiere. Car la
fin du crépuscule arrive lorsque les rayons S D (
Dans la sphere droite, c'est - à - dire pour les habitans de l'équateur, les crépuscules sont plus courts que par - tout ailleurs, parce que le soleil descend perpendiculairement au - dessous de l'horison, & que par conséquent il est moins de tems à s'abaisser sous l'horison de la valeur de 18 degrés. Plus on s'éloigne de l'équateur, plus les crépuscules sont longs; & enfin proche des poles ils doivent être de plusieurs mois.
Il y a pour chaque endroit du monde un jour dans l'année où le crépuscule est le plus court qu'il est possible. On trouve dans l'analyse des infiniment petits à la fin de la troisieme section un problème où il s'agit de trouver ce jour du plus petit crépuscule, l'élévation du pole étant donnée. On trouve aussi une solution de la même question dans les inst. astr. de M. le Monnier, page 407. Ce problème est résolu très - élégamment dans les deux ouvrages, & ne présente aucune difficulté considérable; cependant M. Jean Bernoulli dit dans le recueil de ses oeuvres, tome I. page 64. qu'il en a été occupé cinq ans sans en pouvóir venir à bout. Cela vient apparemment de ce qu'il avoit d'abord résolu le problème analytiquement, au lieu d'employer l'espece de synthèse qu'on trouve dans l'analyse des infiniment petits & dans les inst. astron. synthèse qui rend la solution bien plus simple. En effet, si on résoud ce problème analytiquement, on tombe dans une équation du quatrieme degré, dont il faut d'abord trouver les quatre racines, & ensuite déterminer celle ou celles de ces racines qui résolvent la question. Comme cette matiere n'a été traitée dans aucun ouvrage que je sache avec assez de détail, je vais la développer ici suivant le plan que je me suis fait d'éclaircir dans l'Encyclopédie ce qu'on ne trouve point suffisamment expliqué ailleurs.
Soit (
Cette équation peut être regardée comme le produit
de ces deux - ci s s - 1 = 0; [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
(Voyez
D'ailleurs il faut que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] soit plus petit que
le sinus total, & jamais plus grand que le sinus e de
23
A l'égard de l'autre valeur [omission: formula; to see, consult fac-similé version],
elle est évidemment négative aussi, puisque 1 est >
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]; ce qui donne encore la déclinaison du soleil
australe; & comme on a [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
(ce qu'il est aisé de voir en multipliant en croix les
deux membres) il s'ensuit que cette seconde valeur
est = - h x; donc on dira, comme le rayon est à la
tangente de neuf degrés, ainsi le sinus de la hauteur
du pole est à la déclinaison australe cherchée: c'est
l'analogie que M. Jean Bernoulli & M. de l'Hopital
ont donnée pour la solution de ce problème; & la
racine s = - h x résout par conséquent la question,
parce que h x est toûjours plus petit que e; car la
tangente x de 9 degrés est plus petite que le sinus e
de 23
Pour la résoudre, nous n'avons qu'à supposer dans la solution primitive que la déclinaison soit australe au lieu d'être boréale, & faire le calcul comme dessus, nous trouverons [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour le sinus d'un des angles horaires, & [omission: formula; to see, consult fac-similé version] pour l'autre; nous verrons de plus que c'est alors la somme de ces angles, & non leur différence, qui est le tems du crépuscule, comme il est aisé de le prouver en considérant la figure, le point e se trouvant de l'autre côté de E; car le point c se trouvera alors entre les points T & S, & T S sera égale non à la différence, mais à la somme de c S & de c T. Achevant donc le calcul, on trouvera une équation qui ne différera de l'équation du quatrieme degré en s trouvée ci - dessus, que par les signes des termes impairs, c'est - à - dire des termes où sont s3 & s. Cette équation sera le produit de s s - 1 par [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & l'on aura deux valeurs positives de s, savoir [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Ce sont les deux valeurs de s, lorsque la quantité du quatrieme degré [omission: formula; to see, consult fac-similé version] &c. est supposée = 0. Cela posé, on peut regarder cette quantité comme le produit de 1 - s s positive par [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & lorsque [omission: formula; to see, consult fac-similé version] sera >0, on aura [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Donc la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donnera [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & [omission: formula; to see, consult fac-similé version]. Or la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version], vient de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; supposant la somme ou la différence des deux angles horaires égale à un minimum; la somme pour le cas de - h, & la différence pour le cas de + h; donc la quantité [omission: formula; to see, consult fac-similé version], viendra (en supposant s k - h positive) de [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or, peur que s k - h soit positive dans cette condition,
Enfin, si on suppose [omission: formula; to see, consult fac-similé version] & [omission: formula; to see, consult fac-similé version],
on trouvera que ces conditions donnent
[omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent (à cause
que h - s k est ici positif) [omission: formula; to see, consult fac-similé version]
& [omission: formula; to see, consult fac-similé version];
donc la différence
de la somme des deux arcs est = 0, lorsque
[omission: formula; to see, consult fac-similé version]; & est positive, lorsque s est plus
grand. Donc cette somme est un véritable minimum,
lorsque [omission: formula; to see, consult fac-similé version], & par conséquent cette valeur
de s est la seule qui résolve véritablement le
probleme du plus court crépuscule: je dis du plus
court, & non pas du plus long. Car l'équation du
plus long crépuscule seroit la même que celle du plus
court, en faisant la différence = 0; parce que la regle
pour les maxima & pour les minima est la même;
ainsi il pouvoit encore rester ici de l'équivoque;
mais elle est levée entierement, lorsque l'on considere
que [omission: formula; to see, consult fac-similé version] donne la différence
positive, ce qui indique le minimum. Si la différence
étoit négative, alors le tems du crépuscule seroit
un maximum. Mais, dira - t - on, quel sera le jour
du plus long crépuscule? Car il y en aura un. Je réponds
que le plus long crépuscule ne se trouve pas
en faisant la différence de la somme des arcs égale à
zéro, mais en prenant le crépuscule du jour de la plus
grande déclinaison boréale du soleil, & celui du jour
de la plus grande déclinaison australe, & en cherchant
lequel de ces deux crépuscules est le plus grand.
Car il n'y a qu'un seul crépuscule qui soit le plus court,
puisqu'il n'y a qu'une valeur de s pour le plus court
crépuscule; donc c'est un des deux crépuscules extrêmes
qui est le plus long. V. sur tout cela les art.
M. de Maupertuis dans la premiere édition de son Astronomie nautique, s'est proposé la même question que nous venons de discuter; il l'a résolue en très - grande partie, & nous devons ici lui en faire honneur; cependant il y restoit encore quelque chose [p. 458]
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