"209"> toises de profondeur; augmentation très - considérable au poids du seau plein & sortant de l'eau, dont il aura peut - être puisé 24 livres. Il est vrai que cette premiere difficulté de l'élevation du seau ira toûjours en diminuant, & sera nulle au bord du puits; mais en ce cas l'action de l'homme qui tirera le seau sera fort inégale; & dans cette supposition il est impossible qu'il ne se fatigue pas trop, qu'il ne perde du tems, & qu'il ne fasse moins qu'il n'auroit pû, parce qu'il est presqu'impossible qu'il ne donne précisément que ce qu'il faudra de force pour surmonter à chaque instant la résistance décroissante du seau & de la corde. Il seroit plus avantageux & plus commode pour la puissance, d'avoir une machine qui réduisît à l'égalité une action inégale par elle - même, de sorte que l'on n'eût jamais à soûtenir que le même poids, ou à employer le même effort quoique la résistance de la corde fût toujours variable. Pour cela le seul moyen est, que quand le poids de la corde sera plus grand, ou ce qui est le même, quand il y aura plus de corde à tirer, la puissance agisse par un plus long bras de levier, plus long précisément à proportion de ce besoin, & par conséquent il faudra que les leviers soient toujours changeans & décroissans pendant toute l'élevation du seau. C'est pourquoi il faudra donner à la poulie dont on se servira, une forme pareille à - peu - près à celle des fusées des montres, qui sont construites sur le même principe, ou plutôt il faudra que cette poulie soit comme un assemblage de plusieurs poulies concentriques & inégales: on peut voir sur cette matiere un plus grand détail dans l'hist. de l'Acad. de 1739, p. 51.

Il s'ensuit de ce que nous avons dit sur la résistance des cordes, 1°. qu'on doit préférer autant que faire se peut les grandes poulies aux petites, non - seulement parce qu'ayant moins de tours à faire, leur axe a moins de frottement, mais encore parce que les cordes qui les entourent y souffrent une moindre courbure, & ont par conséquent moins de résistance. Cette considération est d'une si grande conséquence dans la pratique, qu'en évaluant la roideur de la corde selon la regle de M. Amontons, on voit clairement que si on vouloit enlever un fardeau de 800 livres avec une corde de 20 lignes de diametre, & une poulie qui n'eût que 3 pouces, il faudroit augmenter la puissance de 212 livres pour vaincre la roideur de la corde, au lieu qu'avec une poulie d'un pié de diametre cette résistance céderoit à un effort de 22 livres, toutes choses d'ailleurs égales.

On peut juger par - là que les poulies moufflées, c'est - à - dire les poulies multiples, ne peuvent jamais avoir tout l'effet qui devroit en résulter suivant la théorie. Car dans ces sortes de machines, les cordes ont plusieurs retours; & quoique les puissances qui les tendent chargent d'autant moins les axes qu'il y a plus de poulies, cependant comme il n'y a point de cordes parfaitement flexibles, on augmente leur résistance en multipliant les courbures.

Cet inconvénient, qui est commun à toutes les mouffles, est encore plus considérable dans celles où les poulies rangées les unes au - dessus des autres doivent être de plus en plus petites, pour donner lieu aux cordes de se mouvoir sans se toucher & se frotter. Car une corde a plus de peine à se plier quand elle enveloppe un cylindre d'un plus petit diametre. Ainsi les poulies moufflées, qui sont toutes de même grandeur, sont en général préférables aux autres.

Les cordes qui sont le plus en usage dans la méchanique, celles dont il s'agit principalement ici, sont des assemblages de fils que l'on tire des végétaux, comme le chanvre, ou du regne animal, comme la soie, ou certains boyaux que l'on met en état d'être filés. Si ces fibres étoient assez longues par elles - mêmes, peut - être se contenteroit - on de les mettre ensemble, de les lier en forme de faisceaux sous une enveloppe commune. Cette maniere de composer les cordes eût peut - être paru la plus simple & la plus propre à leur conserver la flexibilité qui leur est si nécessaire; mais comme toutes ces matieres n'ont qu'une longueur fort limitée, on a trouvé moyen de les prolonger en les filant, c'est - à - dire en les tortillant ensemble; le frottement qui naît de cette sorte d'union est si considérable, qu'elles se cassent plutôt que de glisser l'une sur l'autre: c'est ainsi que se forment les premiers fils dont l'assemblage fait un cordon; & de plusieurs de ces cordons réunis & tortillés ensemble, on compose les plus grosses cordes. On juge aisément que la qualité des matieres contribue beaucoup à la force des cordes; on conçoit bien aussi qu'un plus grand nombre de cordons également gros, doit faire une corde plus difficile à rompre; mais quelle est la maniere la plus avantageuse d'unir les fils ou les cordons? Voyez là - dessus l'article Corderie.

Les cables & autres gros cordages que l'on employe, soit sur les vaisseaux, soit dans les bâtimens, étant toujours composés de plusieurs cordons, & ceux - ci d'une certaine quantité de fils unis ensemble, il est évident qu'on n'en doit point attendre toute la résistance dont ils seroient capables s'ils ne perdoient rien de leur force par le tortillement; & cette considération est d'autant plus importante, que de cette résistance dépend souvent la vie d'un très grand nombre d'hommes.

Mais si le tortillement des fils en général rend les cordes plus foibles, on les affoiblit d'autant plus qu'on les tord davantage; il faut donc éviter avec soin de tordre trop les cordes.

Lorsqu'on a quelque grand effort à faire avec plusieurs cordes en même tems, on doit observer de les faire tirer le plus également qu'il est possible; sans cela il arrive souvent qu'elles cassent les unes après les autres, & mettent quelquefois la vie en danger. Voyez les leçons de Phys. expér. de M. l'abbé Nollet. (O)

Cordes (Page 4:209)

Cordes, (Méchan.) De la tension des cordes. Si une corde A B est attachée à un point fixe B (figure 45. Méchaniq.), & tirée suivant sa longueur par une force ou puissance quelconque A, il est certain que cette corde souffrira une tension plus ou moins grande, seion que la puissance A qui la tire, sera plus ou moins grande. Il en est de même, si au lieu du point fixe B, on substitue une puissance égale & contraire à la puissance A; il est certain que la corde sera d'autant plus tendue, que les puissances qui la tirent seront plus grandes. Mais voici une question qui a jusqu'ici fort embarrassé les Méchaniciens. On demande si une corde A B, attachée fixement en B & tendue par une puissance quelconque A, est tendue de la même maniere qu'elle le seroit, si au lieu du point fixe B, on substituoit une puissance égale & contraire à la puissance A. Plusieurs auteurs ont écrit sur cette question, que Borelli a le premier proposée. Je crois qu'on peut la résoudre facilement, en regardant la corde tendue A B, comme un ressort dilaté dont les extrémités A, B, font également effort pour se rapprocher l'une de l'autre. Je suppose donc d'abord que la corde soit fixe en B, & qu'elle soit tendue par une puissance appliquée en A, dont l'effort soit équivalent à un poids de dix livres; il est certain que le point A sera tiré suivant A D avec un effort de dix livres: & comme ce point A, par l'hypothese, est en repos; il s'ensuit que par la résistance de la corde, il est tiré suivant A B avec une force de dix livres, & fait par conséquent un effort de dix livres pour se rapprocher du point B. Or le point B, par la nature du ressort, fait le même effort de dix livres suivant B A, pour se rapprocher du point A, [p. 210] & cet effort est soûtenu & anéanti par la résistance du point fixe B. Qu'on ôte maintenant le point fixe B, & qu'on y substitue une puissance égale & contraire à A; je dis que la corde demeurera tendue de même: car l'effort de dix livres que fait le point B, suivant B A, sera soûtenu par un effort contraire de la puissance B suivant B C. La corde restera donc tendue, comme elle l'étoit auparavant: donc une corde A B, fixe en B, est tendue par une puissance appliquée en A, comme elle le seroit, si au lieu du point B, on substituoit une puissance égale & contraire à la puissance A. Voyez Tension. (O)

Cordes (Page 4:210)

Cordes, (Vibrations des) Méchaniq. Si une corde tendue A B (fig. 71. Méchanique.), est frappée en quelqu'un de ses points, par une puissance quelconque, elle s'éloignera jusqu'à une certaine distance de la situation A B, reviendra ensuite, & fera des vibrations comme un pendule qu'on tire de son point de repos. Les Géometres ont trouvé les lois de ces vibrations. On savoit depuis long - tems par l'expérience & par des raisonnemens assez vagues, que toutes choses d'ailleurs égales, plus une corde étoit tendue, plus ses vibrations étoient promptes; qu'à égale tension, les cordes faisoient leurs vibrations plus ou moins promptement, en même raison qu'elles étoient moins ou plus longues; de sorte que deux cordes, par exemple, étant de la même grosseur, également tendues, & leurs longueurs en raison de 1 à 2, la moins longue faisoit dans le même tems un nombre de vibrations double du nombre des vibrations de l'autre; un nombre triple, si le rapport des longueurs étoit celui d'1 à 3, &c. M. Taylor célebre géometre Anglois, est le premier qui ait démontré les différentes lois des vibrations des cordes avec quelque exactitude, dans son savant ouvrage intitulé, methodus incrementorum directa & inversa, 1715; & ces mêmes lois ont été démontrées encore depuis par M. Jean Bernoulli dans le tome II. des mémoires de l'académie impériale de Petersbourg. On n'attend pas sans doute de nous que nous rapportions ici les théories de ces illustres auteurs, qu'on peut voir dans leurs ouvrages, & qui ne pourroient être à la portée que d'un très - petit nombre de personnes. Nous nous contenterons de donner la formule qui en résulte, & au moyen de laquelle tout homme tant soit peu initié dans le calcul pourra connoître facilement les lois des vibrations d'une corde tendue.

Avant que d'exposer ici cette formule, il faut remarquer que la corde fait des vibrations en vertu de l'élasticité que sa tension lui donne. Cette élasticité fait qu'elle tend à revenir toûjours dans la situation rectiligne A B; & quand elle est arrivée à cette situation rectiligne, le mouvement qu'elle a acquis, en y parvenant, la fait repasser de l'autre côté, précisément comme un pendule. V. Pendule.

Or cette force d'élasticité peut toûjours être comparée à la force d'un poids, puisqu'on peut imaginer toûjours un poids qui donne à la corde la tension qu'elle a. Cela posé, si on nomme L la longueur de la corde, M la masse de la corde ou la quantité de sa matiere, P la force du ressort de la corde, ou plûtôt un poids qui représente la force avec laquelle la corde est tendue; D la longueur d'un pendule donné, par exemple, d'un pendule à secondes, p le rapport de la circonférence d'un cercle à son diametre, le nombre des vibrations faites par la corde durant une vibration du pendule donné D, sera exprimé par [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

De - là il s'ensuit, 1° que si les longueurs L, & les masses M de deux cordes sont égales, les nombres de leurs vibrations en tems égaux seront comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou (à cause que D est le même pour tous les deux) comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire comme les ra<cb-> cines des nombres qui expriment le rapport des tensions. 2°. Que si les tensions P & les longueurs L font égales, les nombres des vibrations en tems égal seront comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], c'est - à - dire en raison inverse des racines des masses, & par conséquent en raison inverse des diametres, si les cordes sont de la même matiere. 3°. Que si les tensions P sont les mêmes, & que les cordes soient de la même matiere & de la même grosseur, les nombres des vibrations en tems égaux seront en raison inverse des longueurs; car ces nombres de vibrations seront alors comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; or quand les cordes sont de même grosseur & de même matiere, les masses M sont comme les longueurs L, dont [omission: formula; to see, consult fac-similé version] est alors comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version], ou comme [omission: formula; to see, consult fac-similé version].

Il est visible qu'on peut déduire de la formule générale [omission: formula; to see, consult fac-similé version], autant de theoremes qu'on voudra sur les vibrations des cordes. Ceux que nous venons d'indiquer suffisent pour montrer la route qui y conduit.

Les mêmes géometres dont nous avons parlé, ne se sont pas contentés de déterminer les vibrations de la corde tendue A B; ils ont cherché aussi quelle est la figure que prend cette corde, en faisant ses vibrations; & voici, selon eux, quelle est la nature de la courbe A C B que forme cette corde. Soit D le point de milieu de A B, C D la distance du point de milieu C de la corde au point B, dans un instant quelconque: ayant décrit le quart de cercle C E du rayon C D, soit pris par - tout F N à l'arc correspondant C M comme D B est à l'arc C E, le point N sera à la courbe C B; desorte que la courbe A C B que forme la corde tendue, est une coube connue par les Géometres sous le nom de courbe des arcs ou compagne de la cycloïde extrêmement allongée. Voy. Compagne de la Cycloïde & Trochoïde.

MM. Taylor & Bernoulli ont déterminé cette courbe d'après la supposition que tous les points de la corde arrivent en même tems à la situation rectiligne A B C'est ce que l'expérience paroît prouver, du moins autant qu'on peut en juger, en examinant des vibrations qui se font presque toûjours très promptement. M. Taylor prétend même démontrer, sans le secours de l'expérience, que tous les points de la corde A C B doivent arriver en même tems dans la situation rectiligne A B. Mais dans une dissertation sur les vibrations des cordes tendues, imprimée parmi les mémoires de l'académie royale des Sciences de Prusse, pour l'année 1747, j'ai démontré que M. Taylor s'est trompé en cela; & j'ai fait voir de plus, 1° qu'en supposant que tous les points de la corde A C B arrivent en même tems à la situation rectiligne A B, la corde A C B peut prendre une infinité d'autres figures que celle d'une courbe des arcs allongée; 2° qu'en ne supposant pas que tous les points arrivent en même tems à la situation rectiligne, on peut déterminer en général la courbure que doit avoir à chaque instant la corde A B, en faisant ses vibrations. Cependant il est bon de remarquer, ce que personne n'avoit encore fait, que quelque figure que prenne la corde A C B, en faisant ses vibrations, le nombre de ces vibrations dans un tems donné doit toûjours être le même, pourvû que ses points arrivent en même tems à la situation rectilighe; c'est ce qu'on peut déduire fort aisément de la théorie dont nous venons de parler. Je crois donc avoir résolu le premier, d'une maniere générale, le problème de la figure que doit prendre une corde vibrante; M. Euler l'a résolu après moi, en employant presque exactement la même méthode, avec cette diffé<pb->

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