"876"> les droites B H & B I aux foyers, leur somme sera égale au grand axe; & si l'on divise par la ligne B a l'angle I B H que font ces deux lignes, en deux parties égales, cette ligne B a sera perpendiculaire à l'ellipse dans le point B.

9°. Un corps décrivant l'ellipse D F K autour du foyer H, est dans sa plus grande distance à ce foyer H, lorsqu'il est en K; dans sa plus petite, lorsqu'il est en D; & dans ses moyennes distances, lorsqu'il est on F & en E.

10°. De plus, cette moyenne distance FH & EH est égale à la moitié du grand axe.

11°. L'aire d'une ellipse est à celle du cercle circonscrit D m K, comme le petit axe est au grand axe. Il en est de même de toutes les parties correspondantes M I K, m i K de ces mêmes aires. Cette propriété fuit de celle - ci, que chaque demi - ordonnée M I de l'ellipse, est à la demi - ordonnée m I du cercle dans la raison du petit axe au grand. Ce seroit le contraire, si on comparoit un cercle à une ellipse circonscrite, c'est - à - dire qui auroit pour petit axe le diametre de ce cercle.

12°. Tous les parallélogrammes décrits autour des diametres conjugués des ellipses, sont égaux entr'eux. Le parallélogramme ABGD (fig. 14.) par exemple, est égal au parallélogramme ECHQ. M. Euler a étendu cette propriété à d'autres courbes. Voyez le premier volume de l'histoire Françoise de l'académie de Berlin, 1745.

13°. Si la ligne droite B I passant par l'un des foyers, se meut en telle sorte que l'aire qu'elle décrit soit proportionnelle au tems, le mouvement angulaire de B H autour de l'autre foyer, lorsque l'ellipse ne differe pas beaucoup du cercle, est fort approchant d'être uniforme ou égal. Car dans une ellipse qui differe peu d'un cercle, les secteurs quelconques B I D, F I D, &c. sont entr'eux à très - peu près comme les angles correspondans B H D. Voyez Inst. astron. de M. le Monnier, pag. 506. & suiv.

Description de la parabole. Y L K (figure 15. sect. coniq.) est une équerre dont on fait mouvoir la branche Y L le long d'une regle fixe Y I; P F est un fil dont une extrémité est attachée en X à cette équerre, & l'autre en F à un point fixe F. Si pendant le mouvement de cette équerre on tend continuellement le fil par le moyen d'un stylet P, qui suive toûjours l'équerre, le stylet décrira la courbe appellée parabole.

La ligne L I est nommée la directrice; F le foyer; le point T qui divise en deux parties égales la perpendiculaire F I à la directrice, est le sommet de la parabole. La droite T F, prolongée indéfiniment, l'axe.

Toute ligne comme ni parallele à l'axe, est appellée un diametre. Les lignes comme H l terminées à deux points H, l de l'ellipse, & menées parallelement à la tangente au sommet d'un diametre, sont les ordonnées à ce diametre. Les parties i q sont les abscisses. Le quadruple de la distance du point i au point F, est le parametre du diametre in: d'où il suit que le quadruple de F T est le parametre de l'axe, qu'on appelle aussi le parametre de la parabole.

Propriétés de la parabole. 1°. Les ordonnées à un diametre quelconque, sont toûjours coupées en deux parties égales par ce diametre.

2°. Les ordonnées à l'axe lui sont perpendiculaires, & sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diametre; les autres sont d'autant plus obliques, que le diametre dont elles sont les ordonnées, est plus éloigné de l'axe.

3°. Le quarré d'une demi - ordonnée quelconque q l, est égal au rectangle de l'abscisse correspondante i q, par le parametre du diametre in de ces ordonnées: c'est de cette égalité qu'est tiré le nom de la parabole, ARABOLH\, signifiant égalité ou comparaison.

4°. Le parametre de la parabole, c'est - à - dire le parametre de l'axe, est égal à l'ordonnée à l'axe, laquelle passe par le foyer F, & se termine de part & d'autre à la parabole.

5°. La distance P F d'un point quelconque P de la parabole au foyer F, est égale à la distance P L du même point à la directrice L I: cette propriété suit évidemment de la description de la courbe.

6°. Lorsque l'abscisse est égale au parametre, la demi - ordonnée est aussi de la même longueur.

7°. Les quarrés de deux ordonnées au même diametre, qui répondent à deux différens points de la parabole, sont entre eux dans la même proportion que les deux abscisses de ces ordonnées.

8°. L'angle h i n entre la tangente h t au point quelconque i, & le diametre i n au même point, est toûjours égal à l'angle ti F, que cette tangente fait avec la ligne i F tirée au foyer. Ainsi, si H i l représente la surface d'un miroir, exposée aux rayons de lumiere de maniere qu'ils viennent parallelement à l'axe, ils seront tous refléchis au point F, où ils brûleront par leur réunion: c'est ce qui fait qu'on a nommé ce point le foyer. Voyez Miroir ardent.

9°. La parabole est une courbe qui s'étend à l'infini à droite & à gauche de son axe.

10°. La parabole à mesure qu'elle s'éloigne du sommet, a une direction plus approchante du parallelisme à l'axe, & n'y arrive jamais qu'apres un cours infini.

11°. Si deux paraboles ont le même axe & le même sommet, leurs ordonnées à l'axe répondant aux mêmes abscisses, seront toûjours entr'elles en raison sous - doublée de leurs parametres, ainsi que les aires terminées par ces ordonnées.

12°. La valeur d'un espace quelconque i q H, renfermé entre un arc de parabole, le diametre i q au point i, & l'ordonnée H q au point H, est toûjours le double de l'espace i h H renfermé entre le même arc i H, la tangente i h, & le parallele h H à i q; ou ce qui revient au même, l'espace i H q est toûjours les deux tiers du parallélogramme circonscrit.

13°. Si d'un point quelconque H de la parabole, on mene une tangente H m à cette courbe, la partie i m comprise entre le point où cette tangente rencontre un diametre quelconque & le point i sommet de ce diametre, est toûjours égale à l'abscisse i q, qui répond à l'ordonnée q H de ce diametre pour le point H.

14°. Toutes les paraboles sont semblables entre elles & de la même espece, ainsi que les cercles.

15°. Si on fait passer un diametre par le concours de deux tangentes quelconques, ce diametre divisera en deux parties égales la ligne qui joint les deux points de contact: certe propriété est commune à toutes les sections coniques.

Description de l'hyperbole. La regle I B T (fig. 16.) est attachée au point fixe I, autour duquel elle a la liberté de tourner. A l'extrémité T de cette regle est attaché un fil H B T, dont la longueur est moindre que I T; l'autre bout de ce fil est attaché à un autre point fixe H, dont la distance au premier I est plus grande que la différence qui est entre le fil & la regle I T, & plus petite que la longueur de cette regle. Cela posé, si pendant que la regle I T tourne autour du point I on tend continuellement le fil par le moyen d'un stylet qui suive toûjours cette regle, ce stylet décrira la courbe appellée hyperbole.

Les points H & I sont appellés les foyers. Le point C qui divise en deux parties égales l'intervalle I H est le centre. Le point D qui est celui où tombe le point B, lorsque la regle IT tombe sur la ligne I H, est le sommet de l'hyperbole. La droite D K double de DC, est l'axe transverse, la figure S K L égale & semblable à B D T, que l'on décriroit de la même maniere [p. 877] en attachant la regle en H, au lieu de l'attacher en I, seroit l'hyperbole opposée à la premiere.

Le rapport qui est entre la distance des points H & I, & la différence du fil à la regle, est ce qui caractérise l'espece de l'hyperbole.

Il y a une autre maniere de décrire l'hyperbole, qui rend plus facile la démonstration de la plûpart de ses propriétés. Voici cette méthode.

L L & M M (fig. 17.) étant deux droites quelconques données de position qui se coupent en un point C, & c D d C un parallélogramme donné, si on trace une courbe e D h qui ait cette propriété qu'en menant de chacun de ses points e les paralleles e d, & e c à L L & M M, le parallélograme c e d C soit égal au parallélogramme D c C d, cette courbe sera une hyperbole.

La courbe égale & semblable à cette courbe que l'on décriroit de la même maniere dans l'angle opposé des lignes M M, L L, seroit l'hyperbole opposée.

Les deux hyperboles que l'on décriroit avec le même parallélogramme entre les deux autres angles qui sont les complémens à deux droits des deux premiers, seroient les deux courbes appellées les hyperboles conjuguées aux premieres. Voyez Conjugué.

Le point où les deux droites M M, L L, se rencontrent, est le centre de toutes ces hyperboles.

Toute ligne passant par le centre, & terminée aux deux hyperboles opposées, est un diametre de ces hyperboles. Toutes les droites menées parallelement à la tangente au sommet de ce diametre & terminées par l'hyperbole, sont des ordonnées à ce diametre; & les parties correspondantes du prolongement de ce diametre, lesquelles sont terminées par le sommet de ce diametre & par les ordonnées, sont les abscisses.

Un diametre quelconque de deux hyperboles opposées, a pour diametre conjugué celui des hyperboles conjuguées, qui a été mené parallelement aux ordonnées du premier.

Le parametre d'un diametre quelconque, est la troisieme proportionnelle à ce diametre & à son conjugué.

Les lignes L L, M M sont appellées les asymptotes, tant des hyperboles opposées que des conjuguées. Voyez Asymptote.

Propriétés de l'hyperbole. 1°. Les crdonnées à un diametre quelconque sont toûjours coupées en deux parties égales par ce diametre.

2°. Les ordonnées à l'axe sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diametre; les autres sont d'autant plus obliques, que le diametre est plus écarté de l'axe; & en comparant deux hyperboles de différentes especes, les diametres qui seront à même distance de l'axe, auront des ordonnées d'autant plus obliques, que la différence de l'angle L C M à son complément sera plus grande.

3°. Le quarré d'une ordonnée à un diametre quelconque est au quarré d'une autre ordonnée quelconque au même diametre, comme le produit de l'abscisse correspondante à cette premiere ordonnée par la somme de cette abscisse & du diametre, est au produit de l'abscisse correspondante à la seconde ordonnée, par la somme de cette abscisse & du diametre.

4°. Le parametre de l'axe transverse est égal à l'ordonnée qui passe par le foyer.

5°. Le quarré d'une demi - ordonnée à un diametre est plus grand que le rectangle de l'abscisse correspondante par le parametre de ce diametre. C'est de cet excès, appellé en Grec U(PERBOLH\, qu'est venu le nom de l'hyperbole.

6°. Si d'un point quelconque B (fig. 16.) on tire deux lignes B H, B I aux foyers, leur différence sera égale au grand axe; ce qui suit évidemment de la premiere description de l'hyperbole.

7°. Si on divise en deux parties égales l'angle H B I, compris les deux lignes qui vont d'un point quelconque aux foyers, la ligne de bissection sera tangente à l'hyperbole en B.

8°. Les lignes droites L L, M M (fig. 17.) dans lesquelles sont renfermées les deux hyperboles op - Rosées & leurs conjuguées, sont asymptotes de ces quatre hyperboles, c'est - à - dire qu'elles en approchent continuellement sans jamais les rencontrer, mais qu'elles peuvent en approcher de plus pres que d'une distance donnée, si petite qu'on la suppose.

9°. L'ouverture de l'angle que font les asymptotes de deux hyperboles opposées. caractérise l'espece de cette hyperbole. Lorsque cet angle est droit, l'hyperbole s'appelle équilatere, à cause que son axe (latus transversum) & son parametre (latus rectum) sont égaux entre eux. Cette hyperbole est à l'égard des autres, ce que le cercle est à l'égard des ellipses. Si par exemple sur le même axe, en variant l'axe conjugué, on construit différentes hyperboles, les ordonnées de ces différentes hyperboles qui auront les mêmes abscisses, seront à l'ordonnee correspondante de l'hyperbole équitatere, comme l'axe conjugué est à l'axe transverse.

10°. Si par le sommet d'un diametre quelconque on tire une tangente à l'hyperbole, l'intervalle retranché sur cette tangente par les asymptotes, est toûjours égal au diametre conjugué.

11°. Si par un point quelconque m de l'hyperbole (fig. 29.) on tire à volonté des lignes K m H, r m R qui rencontrent les deux asymptotes, on aura M R = mr, H E = m K: ce qui fournit une maniere bien simple de décrire une hypeibole, dont les asymptotes C Q, C T soient données, & qui passe par un point donné m: car menant par m une ligne quelconque K m H, & prenant H E = m K, le point E sera à l'hyperbole. On trouvera de même un autre point M de l'hyperbole, en menant une autre ligne r m R, & prenant M R = m r; & ainsi des autres.

12°. Si sur l'une des asymptotes O M (fig. 17.) l'on prend les parties CI, CII, CIII, CIV, CV, &c. qui soient en progression géométrique, & qu'on mene par les points CI, CII, CIII, CIV, les paralleles Ii, II2, III3, IV4, V5, &c. à l'autre asymptote, les espaces I2, II3, III4, IV5, V6, &c. seront tous égaux. D'où il suit que si l'on prend les parties CI, CII, CIII, &c. suivant l'ordre des nombres naturels, les espaces I2, II3, III4, &c. représenteront les logarithmes de ces nombres.

De toutes les propriétés des sections coniques on peut conclure: 1°. que ces courbes font toutes ensemble un système de figures régulieres, tellement liées les unes aux autres, que chacune peut dans le passage à l'infini, changer d'espece & devenir successivement de toutes les autres. Le cercle, par exemple, en changeant infiniment peu le plan coupant, devient une ellipse; & l'ellipse en reculant son centre à l'infini, devient une parabole, dont la position étant ensuite un peu changée, elle devient la premiere hyperbole: toutes ces hyperboles vont ensuite en s'élevant, jusqu'à se confondre avec la ligne droite, qui est le côté du cone.

On voit, 2°. que dans le cercle le parametre est double de la distance du sommet au foyer ou centre; dans l'ellipse, le parametre de tout diametre est à l'égard de cette distance dans une raison qui est entre la double & la quadruple; dans la parabole cette raison est précisément le quadruple, & dans l'hyperbole la raison passe le quadruple.

3°. Que tous les diametres des cercles & des ellipses se coupent au centre & en - dedans de la courbe; que ceux de la parabole sont tous paralleles entr'eux & à l'axe; que ceux de l'hyperbole se coupent

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