"753"> cette distance s'étende de 110 à 110 sur les deux jambes; le secteur demeurant ainsi ouvert, prenez la distance de 40 à 40, comme aussi celle de 70 à 70; la premiere donnera 60, & la derniere 105, qui seront les parties que l'on proposoit de trouver; car 40. 70 :: 60. 105.

6°. Pour ouvrir le compas de proportion de sorte que les deux lignes des parties égales fassent un angle droit, trouvez trois nombres comme 3, 4, & 5, ou leur équimultiples 60, 80, 100, qui puissent exprimer les côtés d'un triangle rectangle; prenez alors avec votre compas la distance du centre à 100, & ouvrez l'instrument jusqu'à ce qu'une des pointes de votre compas étant mise sur 80, l'autre pointe tombe sur le point 60 de l'autre jambe, alors les deux lignes des parties égales renferment un angle droit.

7°. Pour trouver une ligne droite égale à la circonférence d'un cercle; comme le diametre d'un cercle est à sa circonférence à - peu - près comme 50 est à 157, prenez le diametre avec votre compas, & mettez ce diametre sur les jambes de l'instrument de 50 à 50; en le laissant ainsi ouvert, prenez avec le compas la distance de 157 à 157, elle sera la circonférence demandée.

Usage de la ligne des cordes du compas de proportion. 1°. Pour ouvrir cet instrument ensorte que les deux lignes des cordes fassent un angle d'un nombre quelconque de degrés, par exemple 40; prenez sur la ligne des cordes la distance depuis la charniere jusqu'à 40, nombre des degrés proposés; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que la distance de 60 à 60 sur chaque jambe soit égale à la distance susdite de 40; alors la ligne des cordes fait l'angle requis.

2°. L'instrument étant ouvert, pour trouver les degrés de son ouverture, prenez l'étendue de 60 à 60; mettez - la sur la ligne des cordes en commençant au centre, le nombre où elle se terminera fera voir les degrés de son ouverture. En mettant des visieres ou des pinnules sur la ligne des cordes, le compas de proportion peut servir à prendre des angles sur le terrein, de même que l'équerre d'arpenteur, le demi - cercle ou le graphometre.

3°. Pour faire un angle d'un nombre donné de degrés quelconque sur une ligne donnée, décrivez sur la ligne donnée un arc de cercle, dont le centre est le point où doit être le sommet de l'angle: mettez le rayon de 60 à 60, & l'instrument restant dans cette situation, prenez sur chaque jambe la distance des deux nombres qui expriment les degrés proposés, & portez la de la ligne donnée sur l'arc qui a été décrit; enfin tirant une ligne du centre par l'extrémité de l'arc, cette ligne fera l'angle proposé.

4°. Pour trouver les degrés que contient un angle donné, autour du sommet décrivez un arc, & ouvrez le compas de proportion jusqu'à ce que la distance de 60 à 60 sur chaque jambe soit égale au rayon du cercle; prenant alors avec le compas ordinaire la corde de l'arc & la portant sur les jambes de cet instrument, voyez à quel même nombre de degrés sur chaque jambe tombent les pointes du compas; ce nombre est la quantité de degrés que contient l'angle donné.

5°. Pour retrancher un arc d'une grandeur quelconque de la circonférence d'un cercle, ouvrez l'instrument jusqu'à ce que la distance de 60 à 60 soit égale au rayon du cercle donné: prenez alors l'étendue de la corde du nombre de degrés donné sur chaque jambe de l'instrument, & mettez - la sur la circonférence du cercle donné. Par ce moyen on peut inscrire dans un cercle donné un polygone régulier quelconque, aussi - bien que par la ligne des polygones.

Usage de la ligne des polygones du compas de proportion. 1°. Pour inscrire un polygone regulier dans un cercle donné, prenez avec le compas ordinaire le rayon du cercle donné, & ajustez - le au nombre 6 de la ligne des polygones sur chaque jambe de l'instrument; en le laissant ainsi ouvert, prenez la distance des deux mêmes nombres qui expriment le nombre des côtés que doit avoir le polygone; par exemple, la distance de 5 à 5 pour un pentagone, de 7 à 7 pour un eptagone, &c. ces distances portées autour de la circonférence du cercle la diviseront en un pareil nombre de parties égales.

2°. Pour décrire un polygone régulier, par exemple un pentagone, sur une ligne droite donnée, avec le compas ordinaire, prenez la longue de la ligne, appliquez - la à l'étendue des nombres 5, 5 sur les lignes des polygones; l'instrument demeurant ainsi ouvert, prenez sur les mêmes lignes l'étendue de 6 à 6, cette distance sera le rayon du cercle dans lequel le polygone proposé doit être inscrit; alors si des extrémités de la ligne donnée l'on décrit avec ce rayon deux arcs de cercle, leur intersection sera le centre du cercle cherché.

3°. Pour décrire sur une ligne droite un triangle isocele, dont les angles sur la base soient doubles chacun de l'angle au sommet; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que les extrémités de la ligne donnée tombent sur les points 10 & 10 de chaque jambe, prenez alors la distance de 6 à 6, elle sera la longueur de chacun des deux côtés égaux du triangle cherché.

Usage de la ligne des plans du compas de proportion. On voudroit construire un triangle A B C semblable au triangle donné a b c, & triple en surface (Pl. d'Arpentage, fig. 13.) il n'y a qu'à prendre avec un compas commun la longueur du côté a b, la porter sur la ligne des plans à l'ouverture du premier plan: le compas de proportion restant ainsi ouvert, on prendra avec le compas commun l'ouverture du troisieme plan, & l'on aura la longueur du côté homologue au côté a b: on trouvera de la même maniere les côtés homologues aux deux autres côtés du triangle proposé, & de ces trois côtés l'on en formera le triangle A B C, qui sera semblable au triangle donné a b c & triple en surface.

Si le plan proposé a plus de trois côtés, on le reduira en triangles par une ou plusieurs diagonales: si c'est un cercle qu'il s'agisse de diminuer ou d'augmenter, on fera sur son diametre l'opération que nous venons de décrire.

Etant données deux figures planes semblables, (fig. 14.) trouver quel rapport elles ont entr'elles.

Prenez lequel vous voudrez des côtés de l'une de ces figures, & le portez à l'ouverture de quelque plan; prenez ensuite le côté homologue de l'autre figure, & voyez à l'ouverture de quel plan il convient; les deux nombres auxquels conviennent les deux côtés homologues, expriment la raison que les plans proposés ont entr'eux: si le côté a b, par exemple, de la plus petite convient au quatrieme plan, & que le côté homologue A B de l'autre convienne au sixieme plan, les deux plans proposés seront entr'eux comme 4 est à 6, ou comme 2 est à 3. Mais si le côté d'une figure ayant été mis à l'ouverture d'un plan, le côté homologue ne peut s'ajuster à l'ouverture d'aucun nombre entier, il faudra mettre ledit côté de la premiere figure à l'ouverture de quelque autre plan, jusqu'à ce qu'on trouve un nombre entier, dont l'ouverture convienne à la longueur du côté homologue de l'autre figure, afin d'éviter les fractions.

Si les figures proposées sont si grandes qu'aucun de leurs côtés ne se puisse appliquer à l'ouverture des jambes du compas de proportion, prenez les moitiés, les tiers ou les quarts, &c. de chacun des deux côtés homologues desdites figures, & les comparant ensemble vous aurez la proportion des plans. [p. 754]

Entre deux lignes droites données trouver une moyenne proportionnelle. Portez chacune des deux lignes données sur la ligne des parties égales du compas de proportion, afin de savoir le nombre que chacune en contient; & supposé, par exemple que la moindre ligne soit de 20 parties égales, & la plus grande de 45, portez cette plus grande à l'ouverture du quarante - cinquieme plan, qui dénote le nombr de ses parties: le compas de proportion restant ainsi ouvert, prenez l'ouverture du vingtieme plan, qui marque le nombre des parties égales de la plus petite ligne; cette ouverture, qui doit contenir trente des mêmes parties, donnera la moyenne proportionnelle; car 20 sont à 30 comme 30 sont à 45.

Mais comme le plus grand nombre de la ligne des plans est 64, si quelqu'une des lignes proposées contenoit un plus grand nombre de parties égales, on pourroit faire ladite opération sur leurs moitiés, tiers ou quarts, &c. en cette sorte: supposant, par exemple, que la moindre des lignes proposées soit de 32 & l'autre de 72; portez la moitié de la grande ligne à l'ouverture du trente - sixieme plan, & prenez l'ouverture du seizieme; cette ouverture étant doublée donnera la moyenne proportionnelle que l'on cherche.

Usage de la ligne des solides du compas de proportion. Augmenter ou diminuer des solides semblables quelconques selon une raison donnée.

Soit proposé, par exemple, un cube duquel on en demande un qui soit double en solidité: portez le côté du cube donné sur la ligne des solides à l'ouverture de tel nombre que vous voudrez, comme, par exemple, de 20 à 20; prenez ensuite l'ouverture d'un nombre double, comme est en cet exemple le nombre 40; cette ouverture est le côté d'un cube double du proposé.

Si l'on propose un globe ou sphere, & qu'on veuille en faire une autre qui soit trois fois plus grosse, portez le diametre de la sphere proposée à l'ouverture de tel nombre qui vous plaira, comme par exemple de 20 à 20, & prenez l'ouverture de 60, ce sera le diametre d'une autre sphere triple en solidité.

Si les lignes sont trop grandes pour être appliquées à l'ouverture du compas de proportion, prenezen la moitié, le tiers ou le quart, ce qui en proviendra après l'opération sera moitié, tiers ou quart des dimensions que l'on demande.

Etant donnés deux corps semblables, trouver quel rapport ils ont entr'eux. Prenez lequel vous voudrez des côtés de l'un des corps proposés, & l'ayant porté à l'ouverture de quelque solide, prenez le côté homologue de l'autre corps, & voyez à quel nombre des solides il convient; les nombres auxquels ces deux côtés homologues conviennent, indiquent le rapport des deux corps semblables proposés.

Si le premier ayant été mis à l'ouverture de quelque solide, le côté homologue du second ne peut s'accommoder à l'ouverture d'aucun nombre, portez le côté du premier corps à l'ouverture de quelqu'autre solide, jusqu'à ce que le côté homologue du second corps s'accommode à l'ouverture de quelque nombre des solides.

Usag de la ligne des métaux. Etant donné le diametre d'un globe ou boulet de quelqu'un des six métaux, trouver le diametre d'un autre globe de même poids, & duquel on voudra desdits métaux.

Prenez le diametre donné & le portez à l'ouverture des deux points marqués du caractere qui dénote le métal du boulet, & le compas de proportion demeurant ainsi ouvert, prenez l'ouverture des points cotés du caractere qui signifie le métal dont on veut faire le boulet; cette ouverture sera son diametre.

Si au lieu de globes on propose des corps semblables ayant plusieurs faces, faites la même opération que ci - dessus pour trouver chacun des côtés homologues, les uns après les autres, afin d'avoir les longueurs, largeurs, & épaisseurs des corps qu'on veut construire.

Usage des lignes des sinus, des tangentes, des sécantes, lorsqu'il y en a de tracées sur le compas de proportion. Par plusieurs lignes qui sont placées sur cet instrument, nous avons des échelles pour différens rayons; ensorte qu'ayant une longueur ou un rayon donné, qui n'excede pas la plus grande étendue de l'ouverture de l'instrument, on en trouve les cordes, les sinus, &c. Par exemple, supposons que l'on demande la corde, le sinus, ou la tangente de dix degrés pour un rayon de trois pouces; donnez trois pouces à l'ouverture de l'instrument entre 60 & 60 sur les lignes des cordes des deux jambes, alors la même longueur s'étendra de 45 à 45 sur la ligne des tangentes, & de 90 à 90 sur la ligne des sinus de l'autre côté de l'instrument; ensorte que la ligne des cordes étant mise à un rayon quelconque, toutes les autres le trouvent mises au même rayon C'est pourquoi si dans cette disposition on prend avec le compas ordinaire l'ouverture entre 10 & 10 sur les lignes des cordes, cela donnera la corde de dix degrés; en prenant de la même maniere l'ouverture de 10 en 10 sur les lignes des sinus, on aura le sinus de dix degrés; enfin si l'on prend encore de la même maniere l'ouverture de 10 en 10 sur les lignes des tangentes, cette distance donnera la tangente de dix degrés.

Si l'on veut la corde ou la tangente de 70 degrés, pour la corde on peut prendre l'ouverture de la moitié de cet arc, c'est - à - dire 35; cette distance prise deux fois donne la corde de 70d. Pour trouver la tangente de 70d pour le même rayon, on doit faire usage de la petite ligne des tangentes, l'autre s'étendant seulement jusqu'à 45d: c'est pourquoi donnant trois pouces à l'ouverture entre 45 & 45 sur cette petite ligne, la distance entre 70 & 70 degrés sur la même ligne, sera la tangente de 70 degrés pour un rayon de trois pouces.

Pour trouver la sécante d'un arc, faites que le rayon donné soit l'ouverture de l'instrument entre 0 & 0 sur la ligne des sécantes; alors l'ouverture de 10 en 10, ou de 70 en 70 sur lesdites lignes, donnera la tangente de 10 ou de 70 degrés.

Si l'on demande la converse de que qu'un des cas précédens, c'est - à - dire si l'on demande le rayon dont une ligne donnée est le sinus, la tangente ou la sécante, il n'y a qu'à faire que la ligne donnée, si c'est une corde, soit l'ouverture de la ligne des cordes entre 10 & 10, alors l'instrument sera ouvert au rayon requis; c'est - à - dire que le rayon demandé est l'ouverture entre 60 & 60 sur ladite ligne. Si la ligne donnée est un sinus, une tangente, ou une sécante, il n'y a qu'à faire qu'elle soit l'ouverture du nombre donné de degrés; alors la distance de 90 à 90 sur les sinus, de 45 à 45 sur les tangentes, de 0 à 0 sur les sécantes, donnera le rayon.

Usage du compas de proportion en Trigonométrie. 1°. La base & la perpendiculaire d'un triangle rectangle étant donnée, trouver l'hypothénuse. Supposons la base A C (Pl. Trigonom. fig. 2.) = 40 milles, & la perpendiculaire A B = 30; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que les deux lignes des lignes, c'est - à - dire les deux lignes des parties égales, fassent un angle droit; puis pour la base prenez 40 parties de la ligne des parties égales sur une jambe, & pour la perpendiculaire 30 parties de la même ligne sur l'autre jambe; alors la distance du nombre 40 sur l'une des jambes, au nombre 30 sur l'autre jambe, étant prise avec le compas ordinaire, sera la longueur de

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