TRIANGLE (Page 16:610)

TRIANGLE, s. m. en terme de Géométrie, c'est une figure comprise entre trois lignes ou côtés, & qui par conséquent a trois angles. Voyez Figure & Angle.

Si les trois lignes ou côtés d'un triangle sont des lignes droites, on l'appelle triangle rectiligne. Voyez Rectiligne.

Si les trois côtés du triangle A B C, Planche de Géométrie, fig. 68. sont égaux, on l'appelle triangle équilatéral. Voyez Equilatéral.

S'il n'y a que deux de ses côtés égaux, comme D E F, fig. 69. on l'appelle triangle isoscele ou équicrural. Voyez Isoscele.

Si tous les côtés sont inégaux entr'eux, comme A C B, fig. 70. on l'appelle triangle scalene. Voyez Scalene.

Si un des angles K d'un triangle K M L, fig. 71. est droit, on dit que le triangle est rectangle. Voyez Rectangle.

Si un des angles N, fig. 72. est obtus, on dit que le triangle est obtusangle, ou amblygone. Voyez Amblygone.

Si les trois angles sont aigus, comme A C B, fig. 68. le triangle s'appelle acutangle ou oxygone. Voyez Acutangle, &c.

Si les trois lignes du triangle sont courbes, on l'appelle curviligne. Voyez Curviligne.

Si quelque côté du triangle est droit & les autres courbes, on l'appelle triangle mixtiligne.

Si tous les côtés sont des arcs de grands cercles ou de sphere, le triangle s'appelle sphérique. Voyez Sphérique.

Triangles semblables,                             Semblables.
Base d'un triangle,         voyez    Base.
Canon d'un triangle,                              Canon.
Jambes d'un triangle,                             Jambes.

Constructions de triangles. 1°. Deux côtés A B, A C, fig. 73. ayant été donnés en nombres ou autrement, aussi - bien que la quantité de l'angle A compris entre ces côtés. Pour en construire un triangle, prenez A B pour la base; & en A, formez l'angle donné pour l'autre jambe, tracez l'autre ligne donnée A C, enfin tirez la ligne B C, & pour - lors A B C sera le triangle que l'on cherche.

D'où il suit qu'ayant déterminé deux côtés avec l'angle compris entr'eux, vous avez déterminé tout le triangle; par conséquent si en deux angles A C B & a c b, a = A, & que l'on ait a b : a c :: A B : A C, alors les triangles sont déterminés de la même maniere, & par conséquent ils sont semblables; ainsi c. = C; b = B, & a b : b c :: A B : B C. &c.

2°. Trois côtés A B, B C & C A, fig. 68. étant [p. 611] donnés, dont deux, comme A C & A B pris ensemble, sont plus grands que le troisieme; si vous voulez en construire un triangle, prenez A B pour la base, & du point A avec l'intervalle A C, décrivez un arc y; & du point B avec l'intervalle B C, décrivez un autre arc x: tirez les lignes droites A C & B C, vous aurez le triangle.

Il ne faut pas s'imaginer que ce problème soit toujours possible; dès là que la somme des deux côtés est plus grande que le côté pris pour base, ainsi que tous les auteurs qui ont écrit sur la Géométrie paroissent en être persuadés; car, prenant toujours A B pour base, si le côté A C, par exemple, surpassoit cette base d'une quantité égale ou plus grande que l'autre côté B C, l'intersection ne pourroit pas se faire, & par conséquent la construction ne seroit pas possible. Il est donc nécessaire, quand on propose ce probleme, d'y mettre plus de condition qu'on n'a de coutume, de peur que l'on ne tombe dans une construction absurde, comme je l'ai vu arriver.

C'est pourquoi, comme on ne peut construire qu'un triangle avec trois lignes droites données, il s'ensuit qu'en déterminant les trois côtés, tout le triangle est déterminé.

Ainsi si en deux triangles A C B & a c b, fig. 73. l'on a A C; A B :: a c : a b; A C : C B :: a c : b c; alors les triangles sont déterminés de la même maniere, par conséquent ils sont semblables & équiangles.

3°. Une ligne droite comme A B, & les deux angles A & B adjacens, lesquels pris ensemble sont moindres que deux angles droits, étant donnés; pour décrire le triangle A B C aux extrémités de la ligne donnée A B, formez les deux angles donnés A & B: continuez les côtés A C & B C, jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en C. alors vous aurez le triangle A B C que vous cherchiez.

De sorte qu'un côté & deux angles étant donnés, on a tout le triangle; par conséquent, si deux triangles A = a & B = b; alors ces triangles seront déterminés de la même maniere, & par conséquent semblables.

Maniere de mesurer les triangles. Pour trouver la superficie d'un triangle, multipliez la base A B, fig. 74. par la hauteur C d, la moitié du produit est la superficie du triangle A B C.

Ou de cette autre maniere: mustipliez la moitié de la base A B par la hauteur C d, ou toute la base par la moitié de la hauteur, le produit vous donnera la superficie du triangle.

Par exemple,
A B = 342          A B = 342        ½ A B = 171
C d = 234        ½ C D = 117          C d = 234
           1368                      2394                       684
           1026                       342                       513
            684                       342                       342
       2) 80028   superficie 40014   superficie 40014
superficie 40014.

Ou bien on trouve la superficie d'un triangle en joignant ensemble les trois côtés, & prenant la moitié de la somme, & de cette moitié on soustrait chaque côté séparément; après quoi on multiplie la moitié de cette somme par le produit des trois restes, & l'on tire la racine quarrée de ce dernier produit; d'où il suit, 1°. que si entre la base & la moitié de la hauteur, ou entre la hauteur & la moitié de la base, on trouve une moyenne proportionnelle, ce sera le côté d'un quarré égal au triangle. 2°. Si la superficie d'un triangle est divisée par la moitié de la base, le quotient est la hauteur.

Propriétés des triangles plans. 1°. Si en deux triangles A B C, a b c, fig. 73. l'angle A = a les côtés A B = a b & A C = a c, alors le côté B C = b c & les angles C = c & B = b, & par conséquent ces triangles seront égaux & semblables.

2°. Si un côté du triangle A B C, fig. 75. est continué jusqu'à D, l'angle extérieur D A B sera plus grand qu'aucun des deux angles intérieurs opposés B ou C.

3°. Dans chaque triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle, & le plus petit côté au plus petit angle.

4°. Dans tous les triangles, deux côtés tels qu'ils soient, sont plus grands que le troisieme.

5°. Si en deux triangles les différens côtés de l'un sont respectivement égaux aux côtés de l'autre, les angles seront aussi respectivement égaux, & par conséquent les triangles seront entierement égaux & semblables.

6°. Si quelque côté, comme B C, fig. 76. d'un triangle A C B, est continué jusqu'à D, l'angle extérieur D O A sera égal aux deux angles intérieurs opposés, y & z pris ensemble.

7°. En tout triangle, comme A B C, les trois angles A, B, C, pris ensemble, sont égaux à deux angles droits, ou à 180d. d'où il s'ensuit, 1°. que si le triangle est rectangle, comme M K L, fig. 71. les deux angles obliques M & L pris ensemble, font un angle droit ou 90d. & par conséquent ce sont des demi - angles droits, si le triangle est isoscele. 2°. Si un angle d'un triangle est oblique, les deux autres pris ensemble sont pareillement obliques. 3°. Dans un triangle équilatéral, chaque angse est de 60 degrés. 4°. Si un angle d'un triangle est soustrait de 180d. le restant est la somme des deux autres; & si la somme de deux angles est soustraite de 180d. le restant est le troisieme angle. 5°. Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, soit conjointement, soit séparement, le troisieme angle de l'un est égal au troisieme angle de l'autre. 6°. Comme dans un triangle isoscele D F E, fig. 69. les angles de la base y & u sent égaux; si l'angle d'en - haut est soustrait de 180d. & que le restant soit divisé par 2, le quotient est la quantité de chacun des angles égaux: de même si le double d'un des angles de la base y est soustrait de 180d. le restant est la quantité de l'angle d'en - haut.

8°. Si en deux triangles A B C & a b c, fig. 73. A B. = a b., A = a, & B = b, alors A C. = a c. B C. = b c. C = c & le triangle A C B = a c b. d'où il s'ensuit que si en deux triangles A C B. & a c b, A = a, B = b, & B C = b c; alors C = c, par conséquent A C = a c, A B = a b & le triangle A C B = a c b.

9°. Si dans un triangle D F E les angles de la base y & u, fig. 69. sont égaux, le triangle est isoscele: par conséquent si les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral.

10°. Si dans un triangle A B C une ligne droite est tirée parallelement à la base, elle coupe les côtés proportionnellement, & forme un petit triangle semblable au grand.

11°. Tout triangle peut être inscrit dans un cercle. Voyez Cercle.

12°. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, est en puissance triple du rayon. Voyez Rayon.

13°. Les triangles de même base & même hauteur, c'est - à - dire, qui se trouvent entre les mêmes lignes paralleles, sont égaux. Voyez Parallele.

14°. Tout triangle, comme CFD, (fig. 41.) est la moitié d'un parallélogramme ACDB, de même ou d'égale base CD, & de même hauteur, ou entre les mêmes paralleles: ou bien un triangle est égal à un parallélogramme qui est sur la même base, mais qui n'a que la moitié de la hauteur, ou qui n'ayant que la moitié de la base, a la même hauteur que le triangle. Voyez Parallélogramme.

15°. Dans tous les triangles tant plans que sphéri<pb-> [p. 612] ques, les côtés sont proportionels aux sinus des angles opposés.

16°. Dans tous les triangles plans, la somme des deux côtés est à leur différence, comme la tangente de la moitié de la somme des angles opposés est à la tangente de la moitié de leur différence.

17°. Si l'on fait tomber une perpendiculaire sur la base d'un triangle obliquangle, la différence des quarrés des côtés est égale au double du rectangle sous la base & la distance qu'il y a de la perpendiculaire au milieu de la base.

18°. Les côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, par une ligne qu'on tire parallélement à la base.

19°. Un triangle entier est à un triangle coupé par une ligne droite, comme le rectangle sous les côtés coupés est au rectangle des deux autres côtés.

20°. Dans un triangle rectiligne une ligne de l'angle droit perpendiculairement sur l'hypothenuse, divise le triangle en deux autres triangles rectilignes, lesquels sont semblables au premier triangle, & l'un à l'autre.

21°. En tout triangle rectangle le quarré de l'hypothenuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés. Voyez Hypothenuse.

22°. Si quelqu'angle d'un triangle est coupé en deux parties égales, la ligne qui le coupe divisera le côté opposé proportionellement aux côtés qui forment cet angle. Voyez Bissection.

23°. Si l'angle du sommet de quelque triangle est coupé en deux parties égales, la différence des rectangles faits par les côtés & par les segmens de la base, est égale au quarré de la ligne qui coupe l'angle en deux.

24°. Si une ligne droite BE (fig. 78.) coupe en deux un angle ABC d'un triangle, le quarré de ladite ligne BE = AB + BC - AE + EC. Newton, arith. univers.

Pour diviser un triangle dans un certain nombre donné de parties égales, divisez la base CD (fig. 77.) en autant de parties égales qu'il s'agit de diviser la figure, & tirez les lignes A 1, A 2, &c.

Sur les propriétés des triangles sphériques. Voyez Sphérique.

Triangle (Page 16:612)

Triangle, en terme de Trigonométrie. La solution ou analyse des triangles est du ressort de la trigonométrie. Voyez les figures de Trigonométrie.

Les différens cas peuvent être réduits aux problèmes suivans.

Solution des triangles plans. 1°. Deux angles A & C (tabl. trigon. fig. 26.) étant donnés conjointement avec le côté A B, opposé à l'un de ces deux angles C; pour trouver le côté B C, opposé à l'autre angle A, en voici la regle: le sinus de l'angle C est au côté donné A B, qui lui est opposé, comme le sinus de l'autre angle A est au côté que l'on cherche.

C'est pourquoi le côté BC se trouve aisément par les logarithmes ou par la regle de trois ou de proportion. Voyez Logarithme.

Car par exemple, supposez C = 48d. 35'. A = 57d. 28'. AB = 74'. l'opération se fait de cette maniere.

  Log. du sinus de C,          9. 8750142
  Log. de A B,                 1. 8692317
  Log. du sinus de A,          9. 9258681
Total du log. de AB         11. 7950998
 & du sinus de A,
  Log. de BC,                  1. 9200856

Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 83, qui est la quantité du côté que l'on cherchoit.

2°. Deux côtés AB & BC, ayant été donnés conjointement avec l'angle C, opposé à l'un des deux, pour trouver les autres angles A & B, voici la re<cb-> gle: un côté AB est au sinus de l'angle donné C, & opposé à ce côté, comme l'autre côté BC est au sinus de l'angle opposé que l'on cherche.

       Par exemple,
Supposez A B = 94', B C = 69', C = 72d. 15'.
        Log. de AB,                 1. 9731279
        Log. du sinus de C,         9. 9788175
        Log. de BC,                 1. 8388491
    Somme des logarith. du             11. 8176666
     sinus de C & de BD,
        Log. du sinus de A,         9. 9444387

Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 61d. 37'. & comme l'angle donné C est de 72°. 15'. la somme des deux autres 133°. 52'. étant soustraite de 180, total des trois, vous aurez 46°. 8. pour l'autre angle B que vous cherchiez.

De même supposez que dans un triangle rectangle (fig. 28.) outre l'angle droit A on ait donné l'hypothenuse BC = 49, & la cathete AC = 36 pour trouver l'angle B, voici comme on opere.

Log. de BC,          1. 6901961
Log. de tout le sinus,     10. 0000000
Log. de AC,          1. 5563025
Log. du sinus de B   9. 8661064

3°. Deux côtés BA & AC, & l'angle A compris entre ces côtés étant donnés, pour trouver les deux autres angles.

I. Si le triangle ABC est rectangle, prenez un des côtés, qui forment l'angle droit, comme AB, pour rayon, pour lors CA sera la tangente de l'angle opposé B, en ce cas la regle est qu'un côté AB est à l'autre AC, comme le sinus total est à la tangente de l'angle B.

  Par exemple,
Supposé B A = 79 & A C = 54
Logarithme de B A,         18976291
Log. de A C,               17323938
Log. du sinus total,             100000000
Log. de la tang. de B,   9. 8347667

II. Si l'angle A est oblique (fig. 26.), il faut faire cette proportion, la somme des côtés donnés A B & A C est à leur différence, comme la tangente de la moitié de la somme des angles cherchés C & B est à la tangente de la moitié de leur différence: c'est pourquoi en ajoutant la moitié de la différence à la moitié de la somme, ce total donnera le plus grand angle C, & en ôtant la moitié de la différence de la moitié de la somme, le restant sera le plus petit angle B.

     Par exemple,
Supposez       A B = 75'. A C 58'. A   108°.   24'. alors
 A B 75 A B   75'. A+B+C 179°.   60'.
 A C 58 A C   58             A         108     24
       Somme 133. diff. 17                 B + C   71 36
                                         ½ (B + C) 35 48
       Log. de A B + A C            2. 1238516
       Log. de A B - A C            1. 2304489
Log. de la tang. ½ (B + C)          9. 8580694
       Somme des log.                            12. 0885183
      Log. de la tang. ½ (C - B)    8. 6946667 le nom 
bre qui répond à cela est 5°. 16'.
     ½ (B + C) = 35°. 48'. ½ (B + C) = 35°. 48'.
     ½ (C - B) =  5°. 16'. ½ (C - B) =  5°. 16'.
                    C = 41,   4                  B = 30,  32

4°. Les 3 côtés A B, C D, & C A, fig. 28. étant donnés, pour trouver les angles A, B, & C, du sommet de l'angle A avec l'étendue du plus petit côté A B, décrivez un cercle: alors C D sera A C & A B; & C F sera leur différence. La regle est donc que la base BC, est la somme des côtés CD, comme la différence des côtés C F est au segment de la base CG.

Ce segment ainsi trouvé étant soustrait de la base C B, le restant est la corde G B. Ensuite du point A abaissez la perpendiculaire A E sur la corde B G, pour lors B E = E G = ½ G B.

Ainsi dans un triangle rectangle A E B, les côtés A B & B E étant donnés; ou dans un triangle obliquangle A C E, les côtés AC & CE étant donnés: les angles B & A sont trouvés.

    Par exemple,
Supposé A B = 36, A C = 45, B C = 40
       A C = 45  A C = 45
       A B = 36  A B = 36
 A C + A B = 81, F C =  9
Log. de B C =            1. 6020600
Log. de A C + A B 1. 9084850
Log. de F C =            0. 9542425
Somme des log. =                2. 8627275
Log. de C G =            1. 2606675. le nombre qui y
répond dans les tables est 18.
       B C = 4000 E G = 1089
       C G = 1822 C G = 1822
       B G = 2178 C E = 2911
       B E = 1089
Log. de A B =            3. 5563025
Log. du sinus total =          10. 0000000
Log. de E B =            3. 0370279
Log. du sinus de E A B = 9. 4807254, le nombre
qui y répond dans les tables est 17°. 36'. par conséquent 
l'angle A B E est de 72°. 14'.
Log. de A C =            3. 6532125
Log. du sinus total            10. 0000000
Log. de C E =            3. 4640422
Log. du sinus total             9. 8108297 le nombre
qui y répond dans les tables, est 40°. 18'. par conséquent 
ACE est de 49°. 42. & CAB est de 57°. 54.

Solution des triangles rectangles sphériques par les regles communes. I. Dans un triangle rectangle sphérique deux parties quelconques étant données, outre l'angle droit, pour trouver le reste,

1°. il faut considérer si les parties dont il est question sont conjointes ou disjointes. Si les parties disjointes sont opposées l'une à l'autre, comme si l'hypothenuse B C & l'angle C, fig. 29. sont donnés; pour trouver le côté opposé A B, voici quelle est la regle; le sinus total est au sinus de l'hypothénuse B C, comme le sinus de l'angle C est au sinus du côté opposé A B.

2°. Si les parties disjointes ne sont point opposées l'une à l'autre, comme si A B & l'angle adjacent B sont donnés; pour avoir l'angle opposé C, les côtés du triangle doivent être continués du même côté, jusqu'à ce qu'ils fassent des quarts de cercle, afin que par ce moyen vous ayez un nouveau triangle, dans lequel les parties dont il est question soient opposées mutuellement les unes aux autres; comme dans le cas présent le triangle E B F, où nous avons le côté B F donné, qui est le complément du côté A B, & l'angle B pour E F, complément de l'angle C: voici donc la regles qu'il faut suivre. Le sinus total est au sinus de B F, comme le sinus de l'angle B est au sinus E F, ou co - sinus de C.

3°. Si l'hypothénuse ne se trouve point parmi les parties conjointes, comme lorsque les côtés A B & AC sont donnés, pour avoir un angle opposé à l'un des deux; il faut dire le sinus de AC est au sinus to<cb-> tal, comme la tangente de A B est à la tangente de C.

4°. Mais si l'hypothénuse se trouve parmi les parties conjointes, comme si l'hypothénuse B C & l'angle C sont donnés, pour trouver le côté adjacent A C; les côtés du triangle doivent être continués du même côté, jusqu'à ce qu'ils fassent des quarts de cercle, afin que l'on ait un nouveau triangle, dans lequel l'hypothénuse ne se trouve point parmi les parties dont il est question; par exemple, dans le cas présent E B F dans lequel sont donnés le complément E B de l'hypothénuse B C, le complément de l'angle C, & l'angle F complément du côté A C. Puis donc que dans le triangle E F B, l'hypothénuse n'entre pas dans la question, la regie est la même que ci - dessus: c'est - à - dire, que le sinus de E F ou co - sinus de C, est au sinus total, comme la tangente de E B, ou co - tangente de BC est la tangente de F ou co - tangente de A C.

5°. Quand les côtés d'un triangle doivent être continués, il n'importe de quel côté que ce soit, pourvu qu'il ne soit pas question d'un angle aigu, autrement les côtés doivent être continués par l'autre angle oblique: si les deux côtés sont dans la connexion, ils doivent être continués par l'angle adjacent au côté en question.

C'est ainsi qu'on peut toujours former un triangle, où l'on trouve par la regle des sinus ou des tangentes les parties que l'on cherche.

Solution des triangles rectangles sphériques par une regle univer selle. Considérez, comme ci - dessus, si les parties dont il est question sont conjointes ou disjointes.

Si l'un des deux côtés, qui forment l'angle droit, ou même si ces deux côtés entrent dans la question, en leur place, il faut mettre parmi les données leur complément à un quart de cercle: alors, puisque, suivant la regle universelle, si connue dans cette Trigonométrie, le sinus total avec le sinus du complément de la partie moyenne, est égal aux sinus des parties disjointes, & aux co - tangentes des parties conjointes; ôtez du total de ces choses données, la troisieme partie donnée, le reste sera quelque sinus ou tangente, & le côté ou l'angle qui y répond dans la table des logarithmes, est le côté ou l'angle que vous cherchez.

Comme la regle universelle ou générale est d'un grand secours dans la Trigonométrie, nous en ferons l'application à différens cas, & nous en apporterons des exemples qui dans les cas des parties conjointes & disjointes répandront aussi de la lumiere sur la méthode commune: mais dans les cas des parties contiguës, il faudra avoir recours à d'autres solutions.

1°. L'hypothénuse B C = 60d, & l'angle C = 23d. 30'. étant donnés; trouver le côté opposé A B, fig. 22. puisque A B est la partie moyenne, C & B C sont parties disjointes, voyez Parties; le sinus total, avec le co - sinus du complément A B, c'est - à - dire, avec le sinus même de A B, est égal aux sinus de C, & B C.

C'est pourquoi si du sinus de C          96006997
& du sinus de B C. . . . . . . . . . .   99375306
Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  195382303
Vous otez le sinus total  . . . . . . . . . .  100000000
Reste le sinus de A B. . . . . . . . .   95382303

Le nombre qui y répond dans la table est 20d. 12'. 6".

2°. L'hypothénuse B C = 60d. & la jambe A = 20d. 12'. 6". étant données, trouver l'angle opposé C.

Il paroît par le problème précédent que de la somme du sinus total, & du sinus du côté A B, il faut [p. 614] ôter le sinus de l'hypothénuse B C. le reste est le sinus de l'angle C. de sorte qu'il est aisé de transformer le cas précédent en celui - ci.

3°. Le côté A B = 20d. 12'. 6". & l'angle opposé C = 23d. 30'. étant donnés, trouver l'hypothénuse B C.

Il paroît par le premier exemple que de la somme du sinus total, & du sinus de A B, il faut ôter le sinus de l'angle C. le reste est le sinus de l'hypothénuse B C.

4°. L'hypothénuse B C = 60d. & un côté A B = 20d. 12'. 16". étant donnés; trouver l'autre côté.

Puisque B C est une partie moyenne, & que A B & A C sont des parties disjointes, le sinus total avec le co - sinus de l'hypothénuse B, sont égaux aux sinus des complémens, c'est - à - dire, aux co - sinus des côtés A B & A C.

C'est pourquoi du sinus total . . . . . . . . 100000000
& du co - sinus de B C. . . . . . . . .  96989700
Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196989700
soustrayez le co - sinus de A B . . . .  99724279
Reste le co - sinus de A C. . . . . . .  97265421

Le nombre qui y répond dans la table, est 32d. 11'. 34". par conséquent A C est de 57d. 48'. 26".

5°. Les côtés A C = 57d. 48'. 26". & A B = 20d. 12'. 6". étant donnés, trouver l'hypothénuse B C.

Il paroît, par l'exemple précédent, que le sinus total doit être ôté de la somme des co - sinus des côtés A B & A C; le reste est le co - sinus de l'hypothénuse B C. par conséquent l'exemple ci - dessus s'applique aisément à celui - ci.

6°. Le côté A C = 57d. 48'. 26". & l'angle adjacent C = 23d. 30'. étant donnés, trouver l'angle opposé B.

Puisque B est une partie moyenne, & que A & C sont des parties disjointes, le sinus total avec le co - sinus de B, est égal au sinus de C, & au sinus du complément, c'est - à - dire au co - sinus de A C.

C'est pourquoi du sinus de C =         96006697
& du co - sinus A C. . . . . . . . . .  97265421
Somme                                        193272418
Otez le sinus total. . . . . . . . . . . . . 100000000
Reste le co - sinus de B . . . . . . .  93272418

7°. Le côté A C = 57d. 48'. 26". & l'angle opposé B = 77d. 44'. 4". étant donnés, trouver l'angle adjacent C. Il paroît par l'exemple précédent que le co - sinus de A C, doit être soustrait de la somme du sinus total, & du co - sinus de B, le reste est le sinus de C, de sorte que l'exemple précédent s'applique aisément à celui - ci.

8°. Les angles obliques B = 77d. 44'. 4". & C = 23d. 30'. étant donnés, trouver le côté A C adjacent à l'autre angle.

Il paroît par le sixiéme problème que le sinus de C, doit être ôté de la somme du sinus total, & du co - sinus de B, le reste est le co - sinus de A C. Le cas du sixieme problème s'applique aisément à celui - ci.

9°. Le côté A C = 57d. 48'. 26". & l'angle adjacent C = 23d. 30'. étant donnés, trouver le côté opposé A B.

Puisque A C est une partie moyenne, & que C & A B sont des parties conjointes, le sinus total, avec le sinus de A C, est égal à la co - tangente de C, & à la tangente de A B.

 C'est pourquoi du sinus total. . . .      100000000
& du sinus de A C. . . . . . . . . .  99275039
        Somme                              199275039
Otez la cotangente de C. . . . . .   103616981
Reste la tangente de A B. . . . . . . 95658058

10°. Le côté A B = 20d. 12'. 6". & l'angle opposé C = 23d. 30'. étant donnés, trouver le côté adjacent A C.

De la somme de la co - tangente de C & de la tangente de A B, ôtez le sinus total, le reste est le sinus de A C.

11°. Les côtés AB = 20d. 12'. 6". & AC = 57d. 48'. 26". étant donnés, trouver l'angle C, opposé à l'un des deux.

De la somme du sinus total & du sinus de A C, ôtez la tangente de B A, le reste est la co - tangente de C.

12°. L'hypothénuse B C = 60d. & l'angle oblique C = 23d. 30'. étant donnés, trouver le côté adjacent A C.

Puisque C est une partie moyenne, & que A B & A C sont des parties conjointes, le sinus total avec le co - sinus de C, sera égal à la co - tangente de A C.

 C'est pourquoi du sinus total . . . . . . . 100000000
& du co - sinus de C. . . . . . . . . .  99623978
            Somme                            199623978
Otez la co - tangente de B C. . . . . .  97614394
Reste la tangente de A C . . . . . . . 102009584

13°. Le côté A C = 57d. 48'. 26". & l'angle adjacent C = 23d. 30'. étant donnés, trouver l'hypothénuse B C.

De la somme du sinus total & du co - sinus de C, ôtez la tangente de A C, le reste est la co - tangente de B C.

14°. L'hypothénuse B C = 60d. & le côté A C = 57d. 48'26" étant donnés; trouver l'angle adjacent C.

De la somme de la co - tangente de B C, & de la tangente de A C, ôtez le sinus total, le reste est le co - sinus de C.

15°. L'hypothénuse B C = 60d. & un angle C = 23d, 3°'étant donnés, trouver l'autre angle B.

Puisque B C est la partie moyenne, & que B & e sont des parties disjointes, le sinus total avec le cosinus de B C sera égal aux co - tangentes de B & de C.

C'est pourquoi du sinus total.        100000000
Et du co - sinus de B C   . .  96989700
      Somme                . . . . . 196989700
Otez la co - tangente de C  . . 103616981
Reste de la co - tangente de B.  93372719

Le nombre qui y répond dans les tables est 12d. 15'56", par conséquent B est de 77°. 44'4".

16°. Les angles obliques B = 77d. 44'4", & C = 23d. 30'étant donnés, trouver l'hypothénuse B C.

De la somme des co - tangentes de C & de B, soustrayez le sinus total; le reste est le co - sinus de B C.

Solution des triangles obliquangles sphériques. 1°. Dans un triangle obliquangle sphérique A B C (Pl. Trigonom. fig. 30.) deux côtés A B & B C étant donnés conjointement avec un angle A opposé à l'un des deux; trouver l'autre angle C. Voici la regle, le sinus du côté B C est au sinus de l'angle opposé A, comme le sinus du côté B A est au sinus de l'angle opposé C.

 Supposez, par exemple, B C = 39d. 29.'. A =
43d. 20'. B A = 66d. 45'. Pour - lors on trouvera
que le sinus de B C est. . .   98033572
    Le sinus de A . . . . .   98364771
    Le sinus de B A . . . .   99632168
                                    197796936
    Le sinus de C . . . . .   99963367

Le nombre qui y répond dans les tables est 82d. 34'7".

2°. Deux angles C = 82d. 34'7" & A = 43d. 20'avec le côté A B = 60d. 45'opposé à l'un d'eux C étant donnés, trouver le côté B C opposé à l'autre angle A.

Il faut dire: le sinus de l'angle C est au sinus du côté opposé B, comme le sinus de l'angle A est au sinus du côté opposé B C. L'exemple précédent suffit pour l'intelligence de celui - ci.

3°. Deux côtés A B = 66d. 45 m. & B C = 39d. 29'avec un angle opposé à l'un des deux A = 45d. 20'étant donnés; trouver l'angle B compris entre ces côtés; supposez que l'angle C est aigu; puisque l'autre angle A est pareillement aigu, la perpendiculaire B E tombe dans le triangle; c'est pourquoi dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l'angle A, & du côté A B donnés, on trouve l'angle A B E. Puisque B E sert comme de partie latérale dans le triangle A E B, l'angle E B C est une partie moyenne, & le côté B C est une partie conjointe.

Ce co - sinus de l'angle E B C se trouvera en ôtant la co - tangente de A B de la somme du co - sinus de l'angle A B E, & de la co - tangente de B C. Ainsi, en joignant ensemble les angles A B E & E B C, ou si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l'un de l'autre, vous trouverez l'angle en question.

Par exemple, sinus total       . . 100000000
  Co - sinus de A B . . . .  95963154
                   Somme  . . . . 195963154
  Co - tangente de A. . . . 100252805
  Co - tangente de A B E. .  95710349

Le nombre qui y répond dans les tables est 20d. 25'35" par conséquent A B est de 69d. 34' 25".

Co - sinus de A B E . . .  95428300
Co - tangente de B C. . . 100141529
          Somme        . . . . 196269829
Co - tangente de A B. . .  96330085
Co - sinus de E B C . . .  99938544

Le nombre qui y répond dans les tables est 80d. 24'26" par conséquent A B C est de 79d. 9' 57".

4°. Deux angles A = 43d. 20'& B = 79d. 9' 59" avec le côté adjacent A B = 66d. 45'étant donnés, trouver le côté B opposé à l'un des deux angles.

De l'un des angles donnés B, abaissez une perpendiculaire E B sur le côté inconnu A C; &, dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l'angle donné A & de l'hypoténuse A B, cherchez l'angle A B E; lequel étant ôté de l'angle A B C, il reste l'angle E B C. Mais si la perpendiculaire tomboit au - dehors du triangle, en ce cas, il faudroit soustraire l'angle A B C de l'angle A B E; parce que la perpendiculaire B E étant prise pour une des parties latérales, la partie moyenne dans le triangle A B E est l'angle B, & la partie conjointe est A B; dans le triangle E B C, la partie moyenne est l'angle B, & la partie conjointe B C; la co - tangente du côté B C se trouve en ôtant le cosinus de E B A de la somme de co - tangente de A B & du co - sinus de E B C. L'exemple du cas précédent s'applique aisément à celui - ci.

5°. Deux côtés A B = 66d. 45'& B C = 39d. 29'avec l'angle A opposé à l'un ou à l'autre = 43d. 20'étant donnés, trouver le troisieme côté A C, abaissant, comme ci - dessus, la perpendiculaire B E, dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l'angle donné, & de l'hypothénuse A B, vous trouverez le côté A E; puisqu'en prenant B E pour une partie latérale dans le triangle A E B, A B est la partie moyenne, & A E la partie disjointe, & que dans le triangle B E C, B C est la partie moyenne, & E C la partie disjointe; le cosinus de E C se trouve en ôtant le co - sinus de A B de la somme des co - sinus de A E & C B, de sorte qu'en joignant ensemble les segmens A E & E C, ou en cas que la perpendiculaire tombe hors le triangle en les ôtant l'un de l'autre, on trouvera le côté A C.

6°. Deux côtés A C = 65d. 30'46" & A B = 66d. 45'avec l'angle A = 43d. 20'compris entre ces côtés, étant donnés, trouver le troisieme côté B C opposé à cet angle.

Abaissez la perpendiculaire B E, cherchez dans le triangle rectangle le segment A E, lequel étant ôté de A C, il vous reste E C. Si la perpendiculaire tombe au - dehors du triangle, il faut ôter A C de A E.

Puisqu'en prenant la perpendiculaire B E pour une partie latérale dans le triangle A E B, A B devient la partie moyenne, & A E la partie disjointe: & que dans le triangle E B C, C B est la partie moyenne, & E C la partie disjointe; le co - sinus de B C se trouve en ôtant le co - sinus de A E, de la somme des co - sinus de A B & E C.

7°. Deux angles A = 43d. 20'& B = 79d. 9' 59" avec le côté C B = 39d. 29'opposé à l'un ou l'autre de ces angles, étant donnés, trouver le côté A B adjacent à l'un & l'autre.

Abbaissez la perpendiculaire C D de l'angle inconnu C sur le côté opposé A B, & si cette perpendiculaire tombe dans le triangle, par le moyen de l'angle donné B, & de l'hypothénuse B C, cherchez dans le triangle rectangle B C D, le segment B D. Puisqu'en prenant la perpendiculaire C D pour une partie latérale dans le triangle C D B, D B est la partie moyenne, & l'angle B une partie conjointe; & que dans le triangle C D A, A D est la partie moyenne, & l'angle A une partie conjointe; le sinus du segment A D se trouve en ôtant la co - tangente de l'angle B de la somme du sinus de D B & de la co - tangente de l'angle A; de sorte qu'en joinant ensemble les segmens A D & D B, ou, si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l'un de l'autre, le résultat sera du côté A B que vous cherchiez.

8°. Deux côtés A B = 66d. 45'. & B C = 39d. 29'. avec l'angle compris entre ces côtés = 79d. 9'. 59". étant donnés, trouver l'angle A opposé à l'un ou à l'autre de ces côtés.

En abaissant la perpendiculaire C D, vous trouverez le segment B D, comme dans le problème précédent: ôtez ce segment de A B, reste A D. Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, A B doit être joint à D B: & comme en prenant la perpendiculaire C D pour une partie latérale dans le triangle C D B, B D est la partie moyenne, & l'angle B la partie conjointe; & que dans le triangle C D A, A D est la partie moyenne, & l'angle A la partie conjointe; la co - tangente de l'angle A se trouve en ôtant le sinus de D B de la somme de la co - tangente de l'angle B & du sinus A D.

9°. Deux angles A = 43d. 20'. & B = 79d. 9'. 59". avec le côté adjacent A B = 76d. 45'. étant donnés, trouver l'angle C opposé à ce côté.

De l'un des angles donnés B abaisser la perpendiculaire B E, sur le côté opposé A C: dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l'angle A donné, & de l'hypothenuse A B, vous trouverez l'angle A B E, lequel étant ôté de A B C, reste l'angle E B C.

Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, il faut ôter A B C de A B E. Puisqu'en prenant B E pour une partie latérale dans le triangle C E B, l'angle C est la partie moyenne, & l'angle C B E, la partie dis<pb-> [p. 616] jointe; & que dans le triangle A B E, l'angle A est la partie moyenne & l'angle A B E la partie disjointe: le co - sinus de l'angle C se trouve en soustrayant le sinus de l'angle A B E de la somme du cosinus de l'angle A & du sinus de E B C.

10°. Deux angles A = 42d. 20'. & C = 82d. 34'. avec le côté B A = 66d. 45'. opposé à l'un de ces deux, étant donnés, trouver l'autre angle.

De l'angle cherché B, abaissez une perpendiculaire B E; & dans le triangle rectangle A E B, par le moyen de l'angle donné A, & de l'hypothenuse B A, vous trouverez l'angle A B E, puisqu'en prenant la perpendiculaire E B pour une partie latérale dans le triangle E C B, l'angle C est la partie moyenne, & l'angle C E B la partie disjointe; & que dans le triangle A B E, l'angle A est la partie moyenne, & l'angle A B E la partie disjointe: le sinus de l'angle E B C se trouve en soustrayant le co - sinus de A de la somme du co - sinus de C & du sinus de A B E, de - sorte qu'en joignant ensemble A B E & E B C; ou si la perpendiculaire hors le triangle, en ôtant l'un de l'autre vous aurez pour résultat l'angle cherché A B C.

11°. Les trois côtés étant donnés, trouver un angle opposé à l'un de ces côtés.

I. Si un côté A C, fig. 16. est un quart de cercle, & que le côté A B soit plus petit qu'un quart de cercle, vous trouverez l'angle A; prolongez A B jusqu'en F, & jusqu'à ce que A F soit égal à un demi-cercle; du pole A tirez l'arc C F, qui coupe l'arc B F à angles droits en F. Puisque dans le triangle rectangle C B F, l'hypothénuse B C est donnée, & le côté F B, ou son complément A B, à un demi - cercle, vous trouverez la perpendiculaire C F, laquelle étant la mesure de l'angle C A B, donne par conséquent l'angle que vous cherchez.

II. Si l'un des côtés A C est un quart de cercle, & que l'autre côté A B soit plus grand qu'un quart de cercle, cherchez l'angle A: de A B ôtez le quart de cercle A D; & du pole A décrivez l'arc C D, coupant l'arc A B à angles droits en D. Comme dans le triangle rectangle C D B, l'hypothénuse B C, & le côté D B, ou l'excès du côté A B sur le quart de cercle sont donnés, la perpendiculaire C D sera trouvée, comme ci - dessus, & cette perpendiculaire est la mesure de l'angle cherché A.

III. Si le triangle est isoscele, que B C = C F & l'angle A C F celui qu'on cherche; coupez A F en deux parties égales au point D; & par D & C faites passer l'arc de cercle D C. Puisque D C est perpendiculaire à A F, les angles A & F, A C D & D C F sont égaux; par le moyen de l'hyothénuse A C & du côté A D donnés dans le triangle rectangle A C D, vous trouverez l'angle A C D, dont le double est l'angle cherché A C F; & par les mêmes parties données on peut trouver l'angle A ou l'angle F.

IV. Si le triangle est scalène, & que vous cherchiez l'angle A, fig. 30. de C, abaissez la perpendiculaire C D, & cherchez la demi - différence des segmens A D & D B, en disant, la tangente de la moitié de la base A B est à la tangente de la moitié de la somme des côtés A C & C B, comme la tangente de leur demi - différence est à la tangente de la demi - différence des segmens A D & D B: ajoutez ensuite la demi - différence des segmens à la moitié de la base pour trouver le grand segment, & ôtez cette même demi-différence de la même moitié de la base pour trouver le petit segment, pour lors ayant trouvé dans le triangle rectangle C A D, l'hypothénuse A C & le côté A D, vous avez aussi l'angle cherché A. De la même maniere, dans l'autre triangle C D B, vous trouverez B par les parties données C B & D B.

12°. Les trois angles A, B & C étant donnés, trouver un des côtés quelconque.

Comme, au - lieu du triangle donné on peut en prendre un autre, dont les côtés soient égaux aux angles donnés, & les angles égaux aux côtés donnés, ce probleme se résout de la même maniere que le précédent. Chambers & Wolf. (E)

Triangle (Page 16:616)

Triangle, s. m. en Astronomie, c'est un nom commun à deux constellations, l'une dans l'hémisphere septentrional, appellé simplement triangle ou triangle céleste, & l'autre dans l'hémisphere méridional, que l'on appelle triangle austral. Voyez Constellation.

Les étoiles qui composent le triangle septentrional, sont au nombre de quatre, suivant le catalogue de Ptolomée, autant dans celui de Tycho; 24 dans le catalogue britannique.

Triangle (Page 16:616)

Triangle différentiel d'une courbe, dans la haute Géométrie, c'est un triangle rectiligne rectangle, dont l'hypothénuse est une partie de la courbe, qui ne differe qu'infiniment peu d'une ligne droite. Voyez Courbe.

Supposons, par exemple, la demi - ordonnée p m, Pl. d'analyse, fig. 18. & une autre demi - ordonnée P M, qui en soit infiniment proche; alors P p sera la différentielle de l'abscisse, & abaissant une perpendiculaire M R = P p, R m sera la différentielle de la demi - ordonnée. Tirez donc une tangente T M, & l'arc infiniment petit M m ne sera pas différent d'une ligne droite; par conséquent M m R est un triangle rectiligne rectangle, & constitue le triangle différentiel de cette courbe. Voyez Tangente & Soutangente. Chambers. (O)

Triangle (Page 16:616)

Triangle, (Arithmétique.) on appelle ainsi un triangle formé de la maniere suivante.

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6  4  1
1 5 10 10 5
1 6 15 20
1 7 21
1 8 &c.
1 9

La premiere colonne verticale renferme l'unité; la seconde la suite des nombres naturels 2, 3, 4, 5, &c. la troisieme la suite des nombres triangulaires, 1, 3, 6, 10, &c. la quatrieme la suite des nombres pyramidaux, &c. Sur quoi voyez l'article Figuré; voyez aussi Triangulaire, Pyramidal, &c. M. Pascal a fait un traité de ce triangle arithmétique. Les bandes horisontales sont les coefficiens des différentes puissances du binome. Sur quoi voyez Binome. (O)

Triangle (Page 16:616)

Triangle, (Littérat.) cette figure géométrique a depuis long - temps servi de signe, de marque, ou de symbole à bien des choses différentes. Plutarque nous apprend que le philosophe Xénocrates comparoit la divinité à un triangle équilatéral, les génies au triangle isoscele, & les hommes au scalene. Les Chrétiens à leur tour employerent le triangle pour représenter la Trinité; d'abord ils se servirent du simple triangle, mais dans la suite ils ajouterent au triangle quelques lignes, qui formoient une croix: c'est ainsi qu'on trouve des triangles diversement combinés sur les médailles des papes publiées par Bonanni. Au commencement de la découverte de l'Imprimerie, rien n'étoit plus commun que de graver ces sortes de figures au frontispice des livres; ensuite elles devinrent de simples marques de correcteur d'Imprimerie, ou des symboles distinctifs dans le commerce. Enfin, elles ont passé aux emballeurs, qui marquent ainsi avec leur pinceau, toutes les balles de marchandises qui sont envoyées dans les provinces, ou qui doivent passer à l'étranger. (D. J.)

Triangle (Page 16:616)

Triangle, (Fortification.) ouvrage dont les trois angles sont formés par des bastions coupés, ou des demi - bastions. (D. J.) [p. 617]

Triangle (Page 16:617)

Triangle, (Marine.) sorte d'échafaud, qui sert à travailler sur les côtés du vaisseau. Il est composé de trois pieces; d'un traversin; d'une acore, qui pend de travers sur le traversin, & qui va s'appuyer sur le côté du vaisseau; & d'un arcboutant, qui est attaché par une extrémité au bout du traversin, & qui, s'élevant par l'autre en - haut du vaisseau, est cloué à son côté.

Triangle (Page 16:617)

Triangle, (Marine.) c'est le nom qu'on donne à trois barres de cabestan, qu'on suspend autour des grands mâts, quand on veut le racler.

Triangle (Page 16:617)

Triangle, (Instrument d'ouvriers.) les Menuisiers, les Charpentiers, & quelques autres ouvriers, ont des instrumens à qui ils donnent le nom de triangle, & les spécifient néanmoins par quelque terme qui dénote leur usage. Le triangle onglé ou à onglet, n'est qu'une regle de bois de deux lignes d'épais, d'un pié de long, & de trois piés de large, dont l'une des extrémités, qui est coupée en angle de quarante - cinq degrés, est emboîtée dans un autre morceau de bois plus épais, qu'on nomme la joue. Il sert à tracer des angles réguliers, en appuyant la piece de bois contre la joue de l'instrument, & en tirant une ligne le long de la regle. Le triangle quarré est une vraie équerre, dont une des branches qu'on appelle la joue, qui est du triple plus épaisse que l'autre, a dans le milieu & tout le long de son épaisseur, une espece de languette. Il sert à tracer les pieces quarrées, en les appuyant sur la languette le long de la joue, & en tirant les lignes paralleles à l'autre branche. Pour éviter la multiplicité des instrumens, le sieur Hulin en a inventé un qui contient non - seulement ces deux triangles, mais encore une équerre, & ce qu'on appelle la piece quarrée; mais les Anglois ont imaginé un autre instrument encore plus simple & plus parfait.

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