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BINOME (Page 2:258)
BINOME, s. m. (Algebre) c'est une quantité
composée de deux parties, ou de deux termes liés
par les signes + ou - . Voyez
Si une quantité algébrique a trois parties, comme
a + b + c, on l'appelle trinome. Si elle en a davantage,
on la nomme quadrinome, &c. & en général
multinome. Voyez
M. Newton a donné une méthode pour élever en général un binome a + b, à une puissance quelconque m, dont l'exposant soit un nombre entier ou rompu, positif ou négatif.
Voici en quoi cette formule consiste, [omission: formula; to see, consult fac-similé version] [p. 259]
Il est visible que lorsque m est un nombre entier, cette suite se réduit à un nombre fini de termes; car soit par exemple m=2; donc m - 2 = 0, donc tous les termes qui suivront les trois premiers seront = 0, puisqu'ils seront multipliés chacun par m - 2.
M. le Marquis de l'Hopital, dans son Traité des Sections coniques, liv X. a démontré cette formule pour le cas où m est un nombre entier. M. l'Abbé de Molieres l'a démontré aussi dans ses Elémens de Mathématiques. Enfin l'on en trouve encore une démonstration par les combinaisons dans les Elémens d'Algebre de M. Clairaut.
Lorsque m est un nombre négatif ou une fraction,
la suite est infinie, & pour lors elle ne représente
la valeur de (a + b)
Soit, par exemple, un quarré imparfait aa + b,
dont il faille extraire la racine quarrée; il n'y aura
qu'à élever aa + b à la puissance 1/2; car tirer la
racine quarrée, ou élever à la puissance 1/2, c'est la
même chose. Voyez
De même si on veut extraire la racine cube de
a
Soit n le rang qu'occupe un terme quelconque dans la suite du binome a + b éleve à la puissance quelconque m, on trouvera que ce terme est au suivant comme 1 est à [omission: formula; to see, consult fac-similé version]; d'où il s'ensuit que pour que la série soit convergente, c'est - à - dire que les termes aillent toûjours en diminuant, il faut que bXm - n + 1) soit toûjours plus petit que na.
Ainsi pour pouvoir trouver la racine approchée de aa + b par la formule précédente, il faut que bX(1/2 - n + 1), pris positivement, soit plus petit que n a a, n étant un nombre entier quelconque.
De même pour extraire par cette formule la racine
de a
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