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BINAIRE (Page 2:257)
BINAIRE.
Si l'on eût pris la progression de douze, le nombre 11 auroit eu la même propriété; ainsi dans toute l'arithmétique binaire, il n'y auroit que deux caracteres 1 & 0. Le zéro auroit la puissance de multiplier tout par deux, comme dans l'Arithmétique ordinaire il multiplie tout par dix. 1 seroit un; 10, deux; 11, trois; 100, quatre; 101, cinq; 110, six; 111, sept; 1000, huit; 1001, neuf; 1010, dix, &c. ce qui est entierement fondé sur les mêmes principes, que les expressions de l'Arithmétique commune. Il est vrai que celle - ci seroit très incommode par la grande quantité de caracteres dont elle auroit besoin, même pour de très - petits nombres. Il lui faut par exemple quatre caracteres pour exprimer huit, que nous exprimons par un seul. Aussi M. Leibnitz ne vouloit - il pas faire passer son Arithmétique dans un usage populaire; il prétendoit seulement que dans les recherches difficiles, elle auroit des avantages que l'autre n'a pas, & qu'elle conduiroit à des spéculations plus elevées. Le P. Bouvet, Jésuite, célebre missionnaire de la Chine, à qui M. Leibnitz avoit écrit l'idée de son arithmétique binaire, lui manda qu'il étoit très persuadé que c'étoit - là le véritable sens d'une ancienne énigme Chinoise, laissée il y a plus de 4000 ans, par l'empereur Fohi, fondateur des Sciences à la Chine, aussi bien que de l'empire, entendue apparemment dans son siecle, & plusieurs siecles après lui; mais dont il étoit certain que l'intelligence s'étoit perdue depuis plus de 1000 ans, malgré les recherches & les efforts des plus savans lettrés, qui n'avoient vû dans ce monument, que des allégories puériles & chimériques. Cette énigme consiste dans les différentes combinaisons d'une ligne entiere, & d'une ligne brisée, répétées un certain nombre de fois, soit l'une, soit l'autre. En supposant que la ligne entiere signifie 1, & la brisée 0, on trouve les mêmes expressions des nombres, que donne l'Arithmétique binaire. La conformité des combinaisons des deux lignes de Fohi, & des deux uniques caracteres de l'Arithmétique de M. Leibnitz, frappa le P. Bouvet, & lui fit croire que Fohi & M. Leibnitz avoient eu la même pensée.
Nous devons cet article à M. Formey, qui l'a tiré
de l'histoire de l'Académie des Sciences de Paris,
année 1702. Voyez
Cette arithmétique seroit, comme on vient de le dire, peu commode: il faudroit trop de caracteres pour exprimer d'assez petits nombres. Cependant si le lecteur est curieux d'avoir une méthode pour trouver dans cette arithmétique la valeur d'un nombre [p. 258]
On commencera par faire une table des différentes puissances de 2, sçavoir 2° ou 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, &c. que l'on poussera le plus loin qu'il sera possible: cela posé,
Soit donné par exemple le nombre 110101, dont
on veut savoir la valeur, comme ce nombre a six
chiffres, je prends la sixieme puissance de 2, qui
est 32, & qui sera représenté par le chiffre 1, qui
est le plus à gauche; le chiffre suivant 1 indiquera
la 5
Présentement je suppose qu'on veuille exprimer
le nombre 230 par l'arithmétique binaire, je cherche
d'abord la plus grande puissance de 2 contenue
dans 230, c'est 128; & comme 128 est la 8
Il est visible qu'à l'imitation de cette arithmétique
on peut en imaginer une infinité d'autres, ou les
nombres seront exprimés par plus ou moins de chiffres.
Voyez
Soit en général, n le nombre de caracteres d'une
arithmétique quelconque, ensorte que 0, 1, 2,
3, . . . . . . n - 1 soient ces caracteres; & soit
proposé de trouver la valeur d'un nombre quelconque
par exemple b c d e f, exprimé avec les caracteres
de cette arithmétique, on aura b c d e f=
bXn
Si on veut exprimer un nombre quelconque A
par cette même arithmétique, soit np la plus grande
puissance de n contenue dans A, soit divisé A
par np; soit a le quotient & le reste r, soit ensuite
divisé r par n
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